当事业单位人员受到行政处罚时，应当遵循以下步骤和注意事项：
一、严格依法履行处罚决定
事业单位人员在收到行政处罚决定书后，应首先仔细阅读决定书内容，明确处罚的具体事项、依据、履行方式和期限等。然后，应严格按照决定书的要求，依法履行处罚决定所规定的义务，如缴纳罚款、改正违法行为等。
二、行使法律救济权利
如果事业单位人员对行政处罚决定存在异议或不满，认为处罚决定在事实认定、法律适用或程序上存在错误，可以依法行使以下救济权利：
行政复议：在收到行政处罚决定书之日起六十日内（法律规定的申请期限可能因地区或具体法规而有所不同，请参照当地规定），向具有相应管辖权的行政复议机关提出行政复议申请。行政复议机关将对处罚决定的合法性、合理性进行审查，并作出复议决定。
行政诉讼：如果经过行政复议后，事业单位人员仍然对复议决定不满，或者复议机关逾期未作出复议决定，可以在收到复议决定书之日起十五日内（同样，具体期限请参照当地规定），向人民法院提起行政诉讼。人民法院将对案件进行审理，并作出判决或裁定。
三、注意事项
及时行使权利：事业单位人员应密切关注处罚决定书和复议决定书上的申请期限，确保在法定期限内行使复议或诉讼权利。
保留证据：在行使复议或诉讼权利时，应提供充分的证据支持自己的观点，如处罚决定书、复议决定书、相关证据材料等。
遵守法律程序：在复议或诉讼过程中，应遵守法律程序，如按时提交申请材料、出庭应诉等。
四、不理会处罚的后果
如果事业单位人员选择不予理会行政处罚通知，将面临一系列法律后果，包括但不限于：
加处罚款：根据《行政处罚法》的相关规定，若行为人到期不缴纳罚款，行政机关有权每日按罚款数额的百分之三加处罚款，但加处罚款的总额不会超过原罚款数额。
强制执行：行政机关还可依法采取其他强制执行措施，如将查封、扣押的财物进行拍卖或依法处理，或将冻结的存款、汇款划拨以抵缴罚款。
法律追责：若情节严重，行政机关还可依法申请人民法院强制执行，并可能追究事业单位人员的法律责任。
综上所述，事业单位人员在受到行政处罚时，应依法履行处罚决定，并行使法律救济权利以维护自身合法权益。同时，也应注意遵守法律程序和不理会处罚可能带来的法律后果。