当外卖寄错且对方不愿归还时，你可以根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，追究其不当得利的法律责任，要求返还。以下是具体的处理步骤和建议：
一、 法律责任明确
根据《中华人民共和国民法典》的相关条款，得利人没有法律根据取得不当利益的，受损失的人可以请求得利人返还取得的利益。因此，在外卖寄错的情况下，如果对方拒绝归还，其行为构成不当得利，你依法有权要求其返还。
二、 优先尝试协商解决
直接与对方沟通：
- 通过电话、短信或外卖平台的聊天功能，友好、诚恳地与对方联系，解释外卖寄错的情况，并请求对方归还。
- 例如：“您好，我发现一份外卖不小心送到了您那里，这份外卖对我来说很重要，麻烦您看一下是否方便归还，非常感谢您的理解和配合。”
通过外卖平台协助：
- 联系外卖平台客服，说明具体情况，并提供相关的订单号、配送信息等，要求平台协助与收件方沟通，促使对方归还外卖。
三、 寻求相关机构帮助
如果协商无果，可以向以下机构寻求帮助：
- 消费者协会：向消费者协会投诉，协会可以根据具体情况进行调解。投诉时需明确指出自己的权益受到了侵害，并要求对方归还外卖。
- 市场监管部门：如果外卖平台未能有效协助解决问题，可以向当地的市场监管部门投诉，请求介入调查和调解。
四、 采取法律手段
若上述方法均未能解决问题，可以采取以下法律手段：
发送律师函：
- 委托律师撰写并发送律师函，明确告知对方的行为构成不当得利，要求其在规定期限内归还外卖，并警告将承担的法律后果。
提起民事诉讼：
- 如果律师函无效，可以向法院提起民事诉讼。诉讼过程中需提供充分证据证明外卖寄错及对方拒绝归还的事实，要求法院判决对方归还外卖，并赔偿因此遭受的损失（如外卖费用、精神损失费等）。
报警处理（如涉及较大价值或恶意侵占）：
- 若外卖价值较大，且对方拒不退还，甚至存在恶意侵占的行为，可向公安机关报案，追究其相应的法律责任。
五、 注意事项
- 在整个过程中保持冷静和理智，避免情绪化行为导致矛盾升级。
- 积极收集并保存所有相关证据，如订单截图、聊天记录、外卖价值证明等，以备不时之需。
综上所述，面对外卖寄错且对方不愿归还的情况，你应首先尝试协商解决；协商无果时，可依次寻求相关机构帮助并采取法律手段维护自身权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。