针对您提出的问题，关于公安机关刑事案件应立案而不立案的情况，以及如何向检察院反应和相关的法律依据，以下是我为您提供的详细解答：

一、公安机关不给予立案的应对方式

当您认为公安机关应当立案侦查的刑事案件而公安机关未予立案时，您可以采取以下措施：

1. 向上级公安机关反映：

   • 您可以向原公安机关的上级机关申请复议或复核，要求上级公安机关督促下级公安机关立案。

2. 向检察院控告申诉部门提出请求：

   • 您还可以向同级检察院的控告申诉部门提出请求，要求检察院对公安机关的立案活动进行监督。检察院作为法律监督机关，对于公安机关的立案活动具有监督职责，可以通过要求公安机关说明不立案的理由等方式进行监督。

3. 向法院提起刑事自诉（如适用）：

   • 在某些情况下，如果您认为公安机关和检察院的处理均未能满足您的合法权益，您还可以考虑向法院提起刑事自诉，以维护自己的合法权益。

二、法律依据

关于公安机关不立案的法律依据，主要来源于《刑事诉讼法》及相关司法解释：

1. 《刑事诉讼法》第八十七条：

   • 人民检察院认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查的，或者被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，向人民检察院提出的，人民检察院应当要求公安机关说明不立案的理由。人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。

2. 《人民检察院刑事诉讼规则》第三百七十三条第一款：

   • 被害人认为公安机关应当立案侦查的案件而不立案侦查，向人民检察院提出的，人民检察院控告申诉部门应当受理并进行审查。人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立的，应当通知公安机关立案，公安机关收到通知后应当立案。

三、报案后公安机关不立案的救济途径

如果报案后公安机关不予立案，您还可以通过以下途径进行救济：

1. 要求公安机关说明不立案的理由：

   • 您有权要求公安机关说明不立案的具体理由，并了解案件的具体情况。

2. 申请复议或复核：

   • 如果认为公安机关的理由不能成立，您可以向原公安机关申请复议，或者向上一级公安机关申请复核。

3. 向检察院提出控告申诉：

   • 如前所述，您可以向检察院控告申诉部门提出请求，要求检察院对公安机关的立案活动进行监督。

4. 司法途径进一步救济：

   • 如果对公安机关或检察院的处理结果仍不满意，您还可以考虑通过司法途径进一步寻求救济，如向法院提起诉讼等。

综上所述，对于公安机关不予立案的情况，您有多种途径可以寻求法律救济以维护自己的合法权益。希望以上解答能够对您有所帮助。