结论前置：工作了40天没有签劳动合同，劳动者是可以要求用人单位支付赔偿的，并可以向相关部门进行投诉或提起劳动仲裁。

详细分析：

1. 劳动合同的订立要求：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，则应当自用工之日起一个月内订立。在你的情况中，已经工作了40天仍未签订劳动合同，显然超过了法律规定的一个月期限。

2. 未签订劳动合同的赔偿责任：

   • 依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。因此，从用工的第31天起至第40天，用人单位应向你支付双倍的工资作为赔偿。

3. 维权途径与建议：

   • 保留证据：为了有效主张赔偿，你应收集并保留能够证明劳动关系存在的所有证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录以及同事证言等。
   • 合法维权：首先，你可以尝试与用人单位进行协商，要求其支付二倍工资的差额部分。若协商无果，你可以向当地的劳动监察部门投诉举报，或者向劳动争议仲裁委员会提起劳动仲裁申请，以维护自己的合法权益。需要注意的是，劳动仲裁的时效期为一年，从你知道或应当知道自己的权利被侵害之日起计算。

综上所述，对于工作了40天仍未签订劳动合同的情况，你不仅有权要求用人单位支付赔偿，而且应通过合法途径积极维护自己的权益。在维权过程中，保留好相关证据并了解正确的维权渠道是至关重要的。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。