干了半个月没签书面合同，您有权要求公司在一个月内签署新劳动合同，若逾期未签，公司需承担法律责任。具体分析如下：

一. 您有权要求公司签署劳动合同

• 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。因此，您有权敦促公司在一个月内与您签署书面劳动合同。

二. 若公司逾期未签，需承担法律责任

• 若公司在规定时限内未与您签署书面劳动合同，则从实际用工之日起至满一年这段时间内，公司需按照法律法规的规定，每个月向您支付双倍的工资作为惩罚。
• 此外，若因公司未签劳动合同而导致您的权益受损，您还可以依法要求公司支付经济补偿金。

三. 您的行动建议

• 尽快与公司沟通：首先尝试与公司的人力资源部门或管理层沟通，明确表达您希望尽快签署书面劳动合同的意愿。
• 保留证据：在工作期间，注意保留工作证、考勤记录、工资发放记录等能证明劳动关系的证据，以备不时之需。
• 依法维权：若公司拒绝签署劳动合同或侵犯您的合法权益，您可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自身权益。

总之，面对公司未签书面合同的情况，您应依法维护自己的权益，要求公司尽快签署劳动合同，并在必要时采取法律手段保护自己的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。