结论前置：对于一级伤残后死亡且未进行工伤鉴定的情况，丧葬费是否支持，这主要取决于具体的法律规定和实际情况。一般来说，如果未能及时进行工伤鉴定，可能会影响到工伤赔偿的申领，但并不意味着丧葬费一定不予支持。

详细分析：

1. 工伤认定的必要性：

   • 工伤认定是劳动者享受工伤保险待遇的前提。根据《工伤保险条例》，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 若用人单位未按规定提出工伤认定申请，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。

2. 未鉴定情况下的处理：

   • 如果劳动者在一级伤残后死亡，且未进行工伤鉴定，其家属可能面临无法直接通过工伤赔偿程序获得丧葬费的情况。
   • 然而，这并不意味着丧葬费一定不予支持。家属可以尝试通过其他途径，如与用人单位协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等方式，来争取丧葬费等相关权益。

3. 法律依据与实际操作：

   • 根据相关法律法规，劳动者因工死亡后，其近亲属有权获得丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等工伤保险待遇。
   • 在实际操作中，如果劳动者未进行工伤鉴定即死亡，其家属在申请丧葬费时可能会遇到一定困难。此时，建议家属咨询专业律师，了解具体的法律程序和操作方式，以便更好地维护自己的合法权益。

4. 建议与提醒：

   • 对于劳动者及其家属来说，及时申请工伤认定是非常重要的。一旦发生工伤事故或职业病，应尽快向用人单位或社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 如果因故未能及时进行工伤认定，也不应放弃维护自己的合法权益。可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径来争取应有的赔偿和待遇。

综上所述，一级伤残后死亡且未进行工伤鉴定的情况下，丧葬费是否支持并非绝对。家属应尽快咨询专业律师，了解具体的法律程序和操作方式，以便更好地维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。