针对您提出的“父亲去世，继子与继母争夺遗产，继子有权查询继母名下存款吗”这一问题，以下是我给出的详细解答：

首先，我们需要明确的是，银行账户信息属于个人隐私范畴，受到法律的严格保护。在未经法定程序或账户持有人明确同意的情况下，任何单位或个人都不得擅自查询他人的银行账户信息。

在遗产继承的情境中，若继子想要查询继母名下的存款，必须遵循法定程序。具体来说，如果继子与继母之间就遗产分割存在争议，继子可以通过向法院提起诉讼的方式来解决。在诉讼过程中，继子可以向法院提出申请，请求法院调查继母名下的存款情况。法院会根据案件的具体需要和法律规定，决定是否批准这一申请。

此外，我们还需要考虑继子与继母之间的法律关系。如果继父母与继子之间形成了抚养关系，继子在法律上的地位将更为接近亲生子女。在这种情况下，如果涉及到遗产继承问题，并且符合相关法律规定，继子可能会享有一定的查询权。然而，如果未形成抚养关系，或者继父留有遗嘱明确表示遗产不给予继子，那么继子通常不具备查询继母银行账户的权利。

除了通过法律程序进行查询外，还有一种情况是继母自愿同意继子查询其银行账户。在这种情况下，继子的查询行为是合法的，不受上述法律程序的限制。

综上所述，继子是否有权查询继母的银行账户并非一概而论，而是取决于多种因素的综合考虑。在实际操作中，建议继子在遇到相关问题时首先咨询专业律师，了解具体法律规定和自身权利，避免擅自行动导致不必要的法律纠纷。同时，也建议各方在处理遗产继承等敏感问题时能够遵循法律规定，确保各方权益得到妥善保护。