子女有权要求继承父亲的部分遗产。在父亲去世而母亲健在的情况下，关于子女是否有权继承父亲名下的存款（或其他财产），我们可以从以下几个方面进行详细分析：

一、明确遗产范围与性质

1. 遗产定义：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产是自然人死亡时遗留的个人合法财产。因此，父亲去世后，其名下的存款（或其他财产）在扣除属于母亲的部分后，剩余部分即成为遗产。
2. 存款性质判断：
   • 若存款是父亲与母亲在婚姻关系存续期间共同积累的，则一般属于夫妻共同财产。此时，存款的一半自然归母亲所有，另一半作为父亲的遗产。
   • 若存款是父亲婚前个人财产，或者有明确约定为父亲个人所有，则全部作为遗产进行继承。

二、确定继承方式与顺序

1. 继承方式：
   • 遗嘱继承：若父亲生前立有合法有效的遗嘱，并明确安排了存款的继承，则应严格遵循遗嘱执行。
   • 法定继承：在无遗嘱或遗赠扶养协议的情况下，按照法定继承顺序进行。
2. 继承顺序：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，配偶（母亲）、子女、父母（若在世）为第一顺序继承人。因此，在父亲去世后，子女和母亲都是第一顺序继承人，都有权继承父亲的遗产。

三、继承份额的分配

1. 均等分配原则：同一顺序继承人原则上均等分配遗产。这意味着，在没有特殊情况的情况下，子女和母亲将平均分配父亲的遗产。
2. 特殊情况下的分配：
   • 若存在生活困难、缺乏劳动能力或对被继承人尽了主要扶养义务的继承人，可适当多分遗产。
   • 反之，若继承人有扶养能力和扶养条件却不尽扶养义务，则可能不分或少分遗产。

四、办理继承手续

1. 准备证明材料：包括死亡证明（由公安机关出具）、亲属关系证明（由单位、居委会或村委会出具）等。
2. 继承公证：前往公证处办理继承公证，确认继承人身份及遗产范围。
3. 银行手续：凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款支取或转移手续。部分银行对小额存款可能有简化流程，具体可咨询相关银行。

五、特殊情况处理与建议

1. 继承争议：若继承人之间对存款继承存在争议，首先尝试协商或调解。无法协商一致时，可通过向人民法院提起诉讼解决，法院将依法判决。
2. 建议：在处理此类遗产继承问题时，建议家庭成员之间保持沟通，尽量通过协商达成一致意见。若无法协商，可寻求专业律师的帮助，以确保继承过程的合法性与公正性。

举例说明：假设父亲去世后留下100万元存款，且该存款为夫妻共同财产。那么，其中50万元归母亲所有，剩余50万元作为父亲的遗产。若父亲未立遗嘱，则这50万元将由母亲和子女（假设有一个子女）平均分配，即每人继承25万元。

综上所述，子女在父亲去世后是有权继承父亲的部分遗产的。在处理此类问题时，应严格遵守法律法规，确保继承的合法性与公正性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。