在父亲去世而母亲仍然健在的情况下，关于父亲名下存款的继承问题，我们可以根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，为您详细解答如下：
一、首先明确遗产范围与性质
遗产定义：父亲去世后，其名下的存款即成为遗产，这部分财产需要依据法律进行分配。
存款性质判断：
- 如果存款是父亲与母亲在婚姻期间共同积累的，那么它属于夫妻共同财产。在这种情况下，存款的一半将自动归母亲所有，另一半则作为父亲的遗产进行分配。
- 如果存款是父亲婚前个人财产，或者有明确约定为父亲个人所有，那么这部分存款将全部作为遗产进行分配。
二、确定继承方式
遗嘱继承：
- 如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，并且遗嘱中明确安排了存款的继承方式，那么我们应该严格遵循遗嘱来执行继承。
法定继承：
- 如果父亲没有立遗嘱，或者遗嘱无效，那么我们将按照法定继承的顺序来进行继承。
三、法定继承顺序与份额
继承顺序：
- 第一顺序继承人包括：配偶（即母亲）、子女、父母（如果父亲去世时他们仍然在世）。
- 第二顺序继承人包括：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在第一顺序继承人存在的情况下，第二顺序继承人不参与继承。
继承份额：
- 同一顺序的继承人原则上应该均等分配遗产。
- 但是，如果存在特殊情况，比如某个继承人生活困难、缺乏劳动能力，或者对被继承人尽了主要扶养义务，那么他们可以适当多分一些遗产。相反，如果某个继承人不尽扶养义务，那么他们可能不分或者少分遗产。
四、办理继承手续
准备证明材料：
- 需要准备父亲的死亡证明，这通常由公安机关出具。
- 还需要准备亲属关系证明，这可以由单位、居委会或村委会出具。
继承公证：
- 前往公证处办理继承公证，这是确认继承人身份及遗产范围的重要步骤。
银行手续：
- 凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款的支取或转移手续。需要注意的是，部分银行对小额存款可能有简化流程，具体可以咨询相关银行。
五、特殊情况处理
- 继承争议：
- 如果继承人之间对存款的继承存在争议，首先应该尝试通过协商或调解来解决。
- 如果无法协商一致，那么可以通过向人民法院提起诉讼来解决争议，法院将依法作出判决。
综上所述，在父亲去世而母亲健在的情况下，存款的继承需要首先明确遗产的范围与性质，然后依据遗嘱或法定继承方式来确定继承人及份额。继承人需要按照规定办理相关手续，并在遇到争议时通过法律途径来解决。整个过程中，我们应该严格遵守法律法规，确保继承的合法性与公正性。