在父亲去世而母亲仍然健在的情况下，关于如何继承父亲名下的存款，这是一个涉及法律继承的问题，我会根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，为您详细解答。

一、首先，我们需要明确遗产的范围与性质

1. 遗产定义：父亲去世后，其名下的存款即成为遗产，这部分财产需要依据法律进行分配。

2. 存款性质判断：

   • 如果存款是父亲与母亲在婚姻期间共同积累的，那么它属于夫妻共同财产。在这种情况下，存款的一半自然归母亲所有，另一半则作为父亲的遗产进行分配。
   • 如果存款是父亲婚前个人财产，或者有明确约定为父亲个人所有，那么这部分存款将全部作为遗产进行分配。

二、接下来，我们确定继承方式

1. 遗嘱继承：如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，并且明确安排了存款的继承方式，那么我们应该严格遵循遗嘱来执行。

2. 法定继承：如果父亲没有留下遗嘱，或者遗嘱无效，那么我们将按照法定继承的顺序来进行分配。

三、关于法定继承的顺序与份额

1. 继承顺序：

   • 第一顺序继承人包括：配偶（即母亲）、子女、父母（如果仍在世）。
   • 第二顺序继承人包括：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在第一顺序继承人存在的情况下，第二顺序继承人不参与继承。

2. 继承份额：

   • 同一顺序的继承人原则上应该均等分配遗产。
   • 但是，如果存在特殊情况，比如某个继承人生活困难、缺乏劳动能力，或者对被继承人尽了主要扶养义务，那么这个人可以适当多分一些遗产。相反，如果某个继承人对被继承人没有尽到扶养义务，那么他可能不分或者少分遗产。

四、办理继承手续

1. 准备证明材料：

   • 需要提供父亲的死亡证明，这通常由公安机关出具。
   • 还需要提供亲属关系证明，这可以由单位、居委会或村委会出具。

2. 继承公证：

   • 接下来，需要前往公证处办理继承公证，以确认继承人的身份以及遗产的范围。

3. 银行手续：

   • 最后，凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款的支取或转移手续。需要注意的是，部分银行对小额存款可能有简化流程，具体可以咨询相关银行。

五、特殊情况处理

如果在继承过程中遇到争议，比如继承人之间对存款的分配有分歧，那么首先应该尝试通过协商或调解来解决。如果无法协商一致，那么可以通过向人民法院提起诉讼来解决争议，法院将依法作出判决。

综上所述，继承父亲名下的存款需要明确遗产范围与性质，确定继承方式，了解法定继承的顺序与份额，并按照规定办理相关手续。在遇到争议时，可以通过法律途径来解决。希望这个解答能够帮助您更好地理解继承流程，并顺利处理相关事宜。