针对您提出的“父亲过世，母亲还在，父亲名下遗留的存款和母亲名下的银行存款怎么继承给子女”的问题，以下是根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定提供的详细解答：

一、明确遗产范围与性质

1. 父亲名下的存款：

   • 若存款是父亲婚前拥有或有明确约定为个人所有，则全部作为遗产。
   • 若存款是婚姻期间积累的，一般属于夫妻共同财产。此时，存款的一半自然归母亲所有，另一半作为父亲的遗产。

2. 母亲名下的银行存款：

   • 通常情况下，母亲名下的银行存款属于她个人所有，不作为父亲的遗产进行分配。
   • 但如果母亲愿意，她可以通过遗嘱或赠与的方式将部分或全部存款转移给子女。

二、确定继承方式

1. 遗嘱继承：

   • 若父亲生前立有合法有效的遗嘱，并明确安排了存款的继承，则应严格遵循遗嘱执行。
   • 如果母亲也立有遗嘱，并且涉及到她名下的银行存款，同样应遵循其遗嘱执行。

2. 法定继承：

   • 在无遗嘱或遗赠扶养协议的情况下，父亲的遗产将按照法定继承顺序进行分配。
   • 法定第一顺序继承人包括配偶（母亲）、子女、父母（若在世）。他们原则上均等分配遗产，但特殊情况下可能有所调整。

三、办理继承手续

1. 准备证明材料：

   • 父亲的死亡证明（由公安机关出具）。
   • 亲属关系证明（由单位、居委会或村委会出具）。
   • 遗嘱（如有）。

2. 继承公证：

   • 前往公证处办理继承公证，确认继承人身份及遗产范围。
   • 如果涉及到母亲名下的银行存款，且她愿意通过遗嘱或赠与的方式转移给子女，也需要办理相应的公证手续。

3. 银行手续：

   • 凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款支取或转移手续。
   • 部分银行对小额存款可能有简化流程，具体需咨询相关银行。

四、特殊情况处理

1. 继承争议：

   • 若继承人之间对存款继承存在争议，首先尝试协商或调解。
   • 无法协商一致时，可通过向人民法院提起诉讼解决，法院将依法判决。

2. 债务处理：

   • 如果父亲生前有债务，应从他的遗产中先清偿债务，然后再进行继承分配。

综上所述，在父亲去世而母亲健在的情况下，存款的继承需首先明确遗产范围与性质，然后依据遗嘱或法定继承方式确定继承人及份额。继承人需按照规定办理相关手续，并在遇到争议时通过法律途径解决。对于母亲名下的银行存款，她有权自主决定如何处理，包括通过遗嘱或赠与的方式转移给子女。