面对轻微肇事者逃逸后处理过程中对方拖延时间讹钱的情况，你可以采取以下措施来妥善应对：
结论前置
- 保持冷静并收集证据：首先确保自身安全，随后拍摄现场照片、视频，记录对方特征、车辆信息等，并保留所有沟通记录。
- 及时报警并配合调查：向警方详细陈述事故发生经过，配合警方进行现场勘查和调查取证。
- 拒绝不合理赔偿要求：对于对方提出的高额索赔，若明显不符合实际损失，应坚决拒绝，并尝试再次协商。
- 寻求法律途径解决：若协商无果，可申请交通管理部门调解或向人民法院提起诉讼，以维护自身合法权益。
详细措施
保持冷静并收集证据：
- 在遇到对方讹钱的情况时，首先要保持冷静，不要被对方的言行所激怒或恐吓。
- 立即收集现场证据，包括拍摄清晰的现场照片、视频，记录对方的车牌号、车型、颜色等特征，以及事故发生的具体时间、地点等。
- 保留与对方的所有沟通记录，如短信、微信聊天记录等，以备后续使用。
及时报警并配合调查：
- 立即向警方报案，详细陈述事故发生经过，包括时间、地点、对方特征、逃逸情况等。
- 配合警方进行现场勘查和调查取证，如实提供所需证据和线索。
- 警方将出具事故认定书，作为后续处理的重要依据。
客观评估损失并拒绝不合理要求：
- 建议对方到正规医疗机构进行检查和诊断，并由专业鉴定机构进行伤情鉴定。
- 委托有资质的评估机构对车辆等财产损失进行评估，确定损失的具体金额。
- 对于对方提出的高额索赔，若明显不符合实际损失或法律规定，应坚决拒绝，并尝试与对方再次协商，明确表明自己的立场和赔偿范围。
寻求法律途径解决：
- 若协商无果，可申请交通管理部门进行调解，通过专业的调解机构来寻求双方都能接受的解决方案。
- 若调解仍无法解决问题，可向人民法院提起诉讼，通过法律途径来维护自身的合法权益。在诉讼过程中，法院将根据双方提供的证据和法律规定作出公正的判决。
法律依据
- 根据《道路交通事故处理程序规定》，当事人可以采取申请人民调解委员会调解、申请公安机关交通管理部门调解或向人民法院提起民事诉讼等方式解决道路交通事故损害赔偿争议。
- 若对方讹钱的数额较大，且结合实际情况判断其行为可能涉嫌犯敲诈勒索罪，则可依据相关法律规定追究其刑事责任。
总之，面对轻微肇事者逃逸后对方拖延时间讹钱的情况，应保持冷静、收集证据、及时报警并配合调查、客观评估损失并拒绝不合理要求，必要时寻求法律途径解决，以维护自身的合法权益。