关于生育津贴的缴纳与支付问题，这里为您详细解答：

首先，对于生育津贴是否必须在一个公司连续缴纳的问题，法律上并没有明确规定必须在同一公司缴纳一定年限（如一年）才能享受生育保险待遇。实际上，只要用人单位按照国家规定缴纳了生育保险费，其职工就可以享受相应的生育保险待遇，这包括生育医疗费用和生育津贴。换句话说，生育津贴的享受与是否在同一公司连续缴纳无关，而是与用人单位是否缴纳了生育保险费有关。

接下来，关于生育津贴的支付方式，这并非必须走公司公户。生育津贴的支付方式主要分为两种：支付到单位账户（公司公户）和支付到个人账户。具体采用哪种方式，取决于当地社保政策的规定以及参保单位的实际选择。

• 如果选择支付到单位账户，社保部门会先将生育津贴拨付到用人单位的对公账户。单位收到后，需根据实际情况进行核算，并根据产假工资与生育津贴的差额进行补发或处理。这种方式有助于衔接产假工资和生育津贴，保障职工权益的同时，也规范了企业的财务流程。
• 如果选择支付到个人账户，部分地区支持或规定直接将生育津贴发放到女职工的个人银行账户。这种方式减少了中间环节，让女职工能够更直接、便捷地领取到生育津贴，降低了资金流转风险，也避免了可能因公司内部财务问题等导致的津贴发放延误或纠纷。

综上所述，生育津贴的缴纳与支付均不受是否在同一公司连续缴纳的限制，而是取决于用人单位是否缴纳了生育保险费以及当地社保政策的规定。女职工应了解自己的权益，如遇到生育津贴发放问题，应及时与单位或社保部门沟通解决。