针对您提出的问题，即公司前三年都签订了劳动合同，但第四年和第五年都没有签，是否可以要求赔偿，以下是我的详细解答：
结论：是的，您可以要求公司支付一定的赔偿。
分析说明：
视为无固定期限劳动合同：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。因此，从您工作的第四年起，即视为与公司签订了无固定期限劳动合同。
双倍工资赔偿：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于您工作的第四年（即用工满一年的次日起至满两年的前一日），公司需支付您这一期间的双倍工资差额。需要注意的是，双倍工资的支付期限最长为十一个月，且受仲裁时效限制，一般为一年。您应在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内申请劳动仲裁。
经济补偿金（如适用）：
- 如果因公司未签订劳动合同或其他违法行为导致劳动关系解除，您有权要求公司支付经济补偿金。经济补偿按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。由于您工作了四年（实际需考虑第五年是否也构成劳动关系解除的情形），在符合支付经济补偿金条件的情况下，您有权获得相应月数的工资作为经济补偿。
行动建议：
收集证据：首先，您应收集能够证明与公司存在劳动关系的证据，如工资条、银行流水、工作证、考勤记录、同事证言等。
协商解决：尝试与公司进行协商，要求公司支付相应的赔偿（如双倍工资差额、经济补偿金）和补缴社会保险费（如适用）。
申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
咨询专业律师（即我）：在整个过程中，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。
综上所述，您可以要求公司支付第四年未签订劳动合同期间的双倍工资差额，并在符合条件下要求支付经济补偿金。请务必及时采取行动，以维护自己的合法权益。