结论前置：在第一年签订了劳动合同，但第二年和第三年未续签的情况下，劳动者通常不能因未签订书面劳动合同而要求支付第二年和第三年的双倍工资，因为法律上视为双方已订立无固定期限劳动合同。不过，若劳动者在被解除劳动关系且非因自身原因时，有权要求经济补偿。
详细分析
一、关于双倍工资赔偿
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但这一条款主要适用于用工初期未签订劳动合同的情况。
特殊情况：
- 当第一年签订了劳动合同，而第二年和第三年未续签时，若第二年结束时仍未签订合同，则自第二年起视为双方已订立无固定期限劳动合同。因此，第三年不存在因未签订劳动合同而要求双倍工资的问题。
二、关于经济补偿
经济补偿的条件：
- 如果劳动者在视为无固定期限劳动合同期间被用人单位解除劳动关系，且该解除并非因劳动者存在《劳动合同法》第三十九条或第四十条规定的情形（如严重违反公司规章制度、不能胜任工作等），劳动者有权要求用人单位支付经济补偿。
经济补偿的计算：
- 经济补偿的计算依据为劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：\(经济补偿 = 劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资 \times 本单位工作年限（年）\)（六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的按半个月工资计算）
三、劳动者的维权途径
- 协商解决：首先，劳动者可以尝试与用人单位进行友好协商，明确双方的权利义务关系，寻求和解。
- 法律途径：若协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉举报，或者申请劳动仲裁，必要时可提起诉讼，以维护自身的合法权益。
特殊情况说明
- 如果未续签劳动合同是由于劳动者个人的重大错误或法定过错情形导致的，用人单位可能无需支付经济补偿。但这种情况较为特殊，需要具体分析。
建议
- 作为劳动者，在发现用人单位未续签劳动合同时，应及时与用人单位沟通，了解原因并寻求解决方案。
- 若用人单位拒绝续签或无法达成一致，劳动者应保留好相关证据（如工资支付记录、工作证、考勤记录等），以便在需要时维护自己的合法权益。
综上所述，虽然劳动者在第一年签订合同后，第二年和第三年未续签合同的情况下不能要求双倍工资赔偿，但在特定条件下仍有权要求经济补偿。在处理此类纠纷时，劳动者应充分了解法律规定并遵循相应的法律程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。