结论：向镇里写履职申请书时，不写负责人名字原则上不影响申请书的法律效力，但可能影响申请书的处理效率或程序规范性，具体需结合实际情况判断。

1. 从法律效力角度分析
   履职申请书的核心功能是向行政机关（镇政府）提出履职请求，其法律效力取决于内容是否明确、请求是否合法、程序是否合规，而非是否写明负责人姓名。根据《中华人民共和国行政诉讼法》及相关行政程序规定，行政机关作为法人主体，对符合法定条件的申请均应依法处理，无论是否写明负责人姓名，均不影响其作为受理主体的法定职责。

2. 从程序规范性角度分析
   若申请书未写明负责人姓名，可能面临以下程序问题：

   • 流转效率降低：镇政府内部通常按部门或岗位分工处理申请，未写明负责人可能导致申请书在流转环节被延误，需额外时间确定承办部门或人员；
     
   • 送达证明风险：若申请需通过邮寄或当面提交，未写明负责人姓名可能导致收件人身份不明确，影响后续对“申请已送达”的举证（尤其在涉及诉讼时）；
     
   • 针对性处理受限：部分履职申请需针对特定负责人（如镇长、分管副镇长）提出，未写明姓名可能导致申请被转交至非对口部门，影响处理专业性。

3. 从实务操作角度建议

   • 优先写明负责人姓名：若明确知道具体负责人（如镇长、分管领导），建议写明姓名及职务（如“镇人民政府张三镇长”），以提升申请书的针对性和处理效率；
     
   • 无法确定时替代方案：若不确定具体负责人，可写明“镇人民政府负责人”或“镇人民政府法制部门”，并附联系方式以便行政机关联系确认；
     
   • 补充送达证明：无论是否写明负责人姓名，均建议通过EMS邮寄（留存邮寄凭证）或当面提交（要求签收），以固定申请送达的证据。

总结：不写负责人姓名不直接导致申请书无效，但可能影响处理效率或程序规范性。建议根据实际情况选择是否写明姓名，并优先通过规范方式提交申请以降低风险。如有进一步疑问，可直接向我咨询行政程序相关法律问题。