工厂未与员工签订劳动合同且辞退员工，工厂需要承担以下法律责任：

1. 未签订劳动合同的双倍工资赔偿

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 赔偿计算：赔偿时段从用工满一个月的次日开始计算，至补订书面劳动合同前一日结束，但最长不超过11个月。赔偿标准为双倍工资，即已发工资外加一倍作为赔偿。例如，若员工工作了8个月未签合同，则可获得7个月的双倍工资差额赔偿。

2. 违法辞退员工的赔偿金

   • 法律依据：若工厂无合法理由辞退员工，构成违法解除劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
   • 赔偿计算：经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。赔偿金则为经济补偿的两倍。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包括绩效奖金、加班工资等应得收入。例如，员工工作3年，月平均工资5000元，若被违法辞退，则可获得30000元的赔偿金（3年×5000元/月×2倍）。

3. 合法辞退员工的情况

   • 若员工存在严重违反规章制度、严重失职等法定过错情形，工厂可合法辞退且无需支付经济补偿。但即便如此，工厂仍需支付未签合同的双倍工资差额。

员工维权途径与建议：

• 收集证据：员工应妥善保存工作证、考勤记录、工资支付凭证等，以证明与工厂的劳动关系及被辞退的事实。
• 与工厂协商：首先尝试与工厂沟通协商，要求支付相应赔偿。
• 向劳动监察部门投诉：若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉，由其进行调查处理。
• 申请劳动仲裁：如问题仍未解决，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付各项赔偿。
• 提起诉讼：对仲裁结果不满意时，可向人民法院提起诉讼。

示例说明：

假设员工小张在工厂工作了9个月，但工厂一直未与其签订劳动合同。后来，工厂以小张工作表现不佳为由将其辞退。在此情况下，小张有权要求工厂支付：

• 双倍工资差额：8个月（从第二个月开始计算）的双倍工资差额，即已发工资外加一倍作为赔偿。
• 若辞退违法：若工厂无法证明辞退小张的合法性，则还需支付违法解除劳动关系的赔偿金，即经济补偿的两倍。若小张月平均工资为4000元，则赔偿金为8000元（2个月×4000元/月×2倍，这里按实际工作年限不足一年按一年算，但具体需根据实际情况和仲裁或法院认定）。

综上所述，工厂未签订劳动合同且辞退员工时，员工应根据自身情况和工厂行为判断应得的赔偿，并采取适当的法律手段维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。