工厂若未与员工签订劳动合同，员工离职时要求双倍工资，工厂需根据具体情况采取不同应对策略，核心结论如下：

1. 确认未签合同的事实及时间跨度
   工厂应首先核实与员工未签订劳动合同的具体时间段。根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍工资。若未签合同时间未超过1年，工厂需承担该期间双倍工资差额的赔偿责任；若超过1年，则视为已订立无固定期限劳动合同，工厂需支付自用工满1个月至满1年期间的双倍工资差额（最多11个月）。

2. 检查是否存在免责或减责情形
   工厂可审查是否存在以下免责或减责事由：

   • 员工拒绝签订：若工厂能证明已主动提出签订合同，但员工无正当理由拒绝（如要求不合理条款），工厂可依据《劳动合同法实施条例》第五条，在书面通知员工终止劳动关系时，无需支付双倍工资。但需注意，此情形下工厂需在用工之日起1个月内终止劳动关系，否则仍需支付双倍工资。
     
   • 合同遗失或未归档：若工厂能证明已实际签订合同但因管理疏漏遗失，需提供证据（如员工签字确认的合同签收单、工资发放记录、社保缴纳记录等）证明劳动关系存在且合同内容已履行，可能降低被认定未签合同的风险。
     
   • 试用期未签合同：试用期包含在劳动合同期限内，若工厂仅签订试用期合同或未签正式合同，仍需支付双倍工资。

3. 协商与调解优先
   若工厂确认需承担赔偿责任，建议优先与员工协商补偿方案（如支付部分双倍工资、额外补偿等），并签订书面和解协议，避免仲裁或诉讼成本。协商时需注意保留沟通记录（如邮件、微信、录音等）作为证据。

4. 应对仲裁或诉讼的准备
   若协商无果，员工申请仲裁或起诉，工厂需：

   • 收集证据：包括工资发放记录、考勤记录、工作证、工作服、同事证言等，证明劳动关系存在及实际用工时间；
     
   • 抗辩理由：针对员工主张的双倍工资期间，提出反证（如员工入职时间、已签合同证据等）；
     
   • 法律适用：强调双倍工资的仲裁时效为1年，自员工知道或应当知道权利被侵害之日起计算（通常为离职后1年内），若员工主张超过时效，可请求驳回其请求。

风险提示：工厂若未签合同且无免责事由，几乎必然需支付双倍工资差额。建议工厂未来严格遵守《劳动合同法》，自用工之日起1个月内与员工签订书面合同，并妥善保管合同文本，避免类似纠纷。

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