结论：居民能否因饲料厂臭气扰民并患上乳腺癌而要求赔偿，需从多个角度分析，包括因果关系、证据收集、法律适用等。目前无法直接断定可以或不可以要求赔偿，但可以提供以下分析供您参考。

1. 因果关系分析：

• 医学角度：首先，需要医学证据证明乳腺癌的发病与饲料厂排放的臭气之间存在直接的因果关系。这通常需要专业的医学鉴定或研究来支持，因为乳腺癌的发病原因复杂多样，包括遗传、环境、生活方式等多种因素。
• 环境科学角度：其次，需要环境科学方面的证据来证明饲料厂排放的臭气确实对周边环境造成了污染，且这种污染达到了可能对人体健康产生危害的程度。

2. 证据收集：

• 医疗记录：收集居民的医疗记录，特别是关于乳腺癌的诊断和治疗过程，以及医生对发病原因的看法。
• 环境监测数据：获取饲料厂周边环境监测站的数据，证明臭气排放超标或存在其他环境污染问题。
• 专家意见：聘请医学和环境科学领域的专家，对因果关系进行评估和鉴定。

3. 法律适用：

• 侵权责任法：根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，如果饲料厂的臭气排放行为确实对居民的健康造成了损害，且这种损害与臭气排放之间存在因果关系，那么饲料厂应当承担侵权责任，包括赔偿损失等。
• 环境保护法：同时，根据《中华人民共和国环境保护法》等相关法律法规，饲料厂作为污染源，有义务采取措施防止环境污染，对造成的环境污染和生态破坏承担责任。

4. 赔偿请求的提出：

• 协商：在收集到充分证据后，居民可以首先尝试与饲料厂进行协商，要求其停止污染行为并赔偿损失。
• 诉讼：如果协商无果，居民可以向人民法院提起诉讼，要求饲料厂承担侵权责任并赔偿损失。在诉讼过程中，需要提交充分的证据来证明自己的主张。

5. 注意事项：

• 时效性：注意诉讼时效的问题，根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
• 证据保全：在协商和诉讼过程中，注意证据的保全和收集，确保自己的权益得到充分保护。

建议：鉴于此类案件涉及医学、环境科学和法律等多个领域，且证据收集和因果关系证明难度较大，建议您在采取行动前咨询专业律师，以便更全面地了解自己的权益和可能的法律途径。如果您有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。