核心结论：根据您描述的情况，工作八年签了四次合同但员工未提出签无固定期限合同，合同到期时用人单位的赔偿或处理方式需分情况讨论，具体如下：

1. 若用人单位未主动提出续签无固定期限合同，且合同到期终止

• 法律依据：根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同后，劳动者未提出续订固定期限合同且未提出终止劳动合同的，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。但若用人单位未履行此义务，且合同到期后直接终止劳动关系，则可能构成违法终止。
• 赔偿标准：若用人单位违法终止劳动合同，需向劳动者支付赔偿金，标准为经济补偿金的二倍。经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资（工作八年即八个月工资），因此赔偿金为16个月工资（八个月×2）。

2. 若用人单位主动提出续签固定期限合同，且劳动者同意

• 法律依据：根据《劳动合同法》第十三条，固定期限劳动合同到期后，用人单位可与劳动者协商续订。若劳动者同意续订固定期限合同，则双方劳动关系继续，但用人单位未违反法律规定。
• 结果：此时合同到期终止无需支付赔偿金，但若用人单位未续签或降低条件导致劳动者不续签，则需支付经济补偿金（八个月工资）。

3. 若劳动者主动提出续签无固定期限合同，但用人单位拒绝

• 法律依据：根据《劳动合同法》第十四条，劳动者在符合条件时（如连续订立二次固定期限合同后）有权要求续签无固定期限合同。若用人单位拒绝，则构成违法不订立无固定期限合同。
• 赔偿标准：劳动者可要求用人单位支付赔偿金（标准同上，16个月工资），或要求继续履行劳动合同（订立无固定期限合同）。

关键提醒：

1. 劳动者未提出签无固定期限合同的影响：若劳动者在每次合同到期前均未明确要求续签无固定期限合同，用人单位可能主张劳动者“放弃”此权利。但根据司法实践，用人单位仍需承担主动提示义务，否则可能被认定为违法终止。
2. 证据保留：建议劳动者保留劳动合同、工资记录、沟通记录等证据，以证明工作年限及用人单位未履行义务的事实。
3. 协商优先：若双方对合同终止有争议，建议优先通过协商解决，避免诉讼成本。

建议行动：若您面临此类情况，可先与用人单位沟通明确终止原因及赔偿方案；若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自身权益。如有进一步疑问，欢迎直接向我咨询。