关于公司裁员赔偿中涉及第三方的情况，通常来说，赔偿的主体是公司，而非第三方，但具体是否涉及第三方赔偿，需根据裁员的性质和原因来具体分析。以下是从不同角度的详细解答：
一、合法裁员情况下的赔偿
经济补偿金：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，公司因经营状况发生严重困难、转产、重大技术革新或经营方式调整等原因进行裁员时，应向被裁员工支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算方式通常为：每工作一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
不涉及第三方赔偿：
- 在合法裁员的情况下，赔偿主体是公司，不涉及第三方。公司应按照法律规定直接向被裁员工支付经济补偿金。
二、违法裁员情况下的赔偿
赔偿金：
- 如果公司违法裁员，如未提前三十日向工会或者全体职工说明情况、未听取工会或者职工的意见、未向劳动行政部门报告裁员方案等，被裁员工有权要求公司支付赔偿金。
- 赔偿金的计算方式通常为经济补偿金的两倍，即：每工作一年支付两个月工资的标准向劳动者支付。
可能涉及第三方的情况：
- 在某些特殊情况下，如公司因第三方（如供应商、客户等）的原因导致经营困难而裁员，虽然赔偿主体仍然是公司，但公司可能会向第三方追偿因裁员而产生的损失。然而，这并不改变公司向被裁员工支付赔偿金的义务。
- 如果第三方直接参与了裁员过程或对裁员有直接责任（如第三方要求公司裁员作为合作条件），且这种行为违反了法律规定或合同约定，被裁员工在特定情况下可能有权直接向第三方主张权利。但这种情况较为复杂，需要具体分析合同条款、法律规定以及第三方行为的具体性质。
三、特殊情况下的赔偿
代通知金：
- 在某些情况下，如公司未提前三十日通知员工裁员，可能需要额外支付一个月工资作为代通知金。但这并不改变经济补偿金或赔偿金的支付义务。
社会保险和住房公积金：
- 公司应确保在裁员前为员工缴纳完社会保险和住房公积金。如果因公司原因导致员工社会保险或住房公积金断缴，公司可能需要承担相应的法律责任。但这同样不涉及第三方赔偿。
四、建议与注意事项
保留证据：
- 被裁员工应保留好与公司的劳动合同、工资单、裁员通知等相关证据，以便在需要时维护自己的合法权益。
咨询专业律师：
- 如果被裁员工对裁员过程或赔偿金额有疑问，建议直接向我咨询。我可以根据具体情况提供详细的法律建议和帮助。
关注公司动态：
- 被裁员工可以关注公司的经营状况和裁员动态，以便及时了解自己的权益是否受到侵害。
总结来说，公司裁员赔偿通常不涉及第三方，赔偿主体是公司。在合法裁员的情况下，公司应支付经济补偿金；在违法裁员的情况下，公司应支付赔偿金。如果涉及特殊情况或第三方责任，需要具体分析合同条款和法律规定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。