当员工与第三方公司（如劳务派遣单位或劳务外包单位）签订合同并被辞退时，赔偿问题确实需要根据合同性质、辞退原因以及相关法律法规来综合判断。以下是对这一问题的详细解答：
一、劳务派遣合同下的辞退与赔偿
合法辞退情形：
- 若劳动者在试用期内不符合录用条件、严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害，或存在其他法定解除劳动合同的情形，用工单位可以将劳动者退回劳务派遣单位。此时，劳务派遣单位依法与劳动者解除劳动合同的，通常无需支付经济补偿，但需结清工资。
违法辞退情形：
- 若劳务派遣单位辞退劳动者不符合法定情形，即构成违法解除劳动合同。在此情况下，劳务派遣单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿的计算标准为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
连带责任：
- 若用工单位违法退回劳动者，导致劳务派遣单位违法解除劳动合同的，用工单位与劳务派遣单位可能需承担连带赔偿责任。
二、劳务外包合同下的辞退与赔偿
- 合同性质：在劳务外包合同下，双方通常不构成劳动关系，因此一般不适用劳动法律法规中关于辞退赔偿的规定。
- 赔偿依据：但如果合同中有关于提前解除合同的违约责任约定，违约方需按合同约定承担相应责任，如支付违约金等赔偿费用。
三、维权步骤与建议
证据收集：
- 劳动者应首先收集能证明劳动关系、工作年限、工资标准及辞退原因等相关证据，如劳动合同、工资流水、工作证、辞退通知等。
协商：
- 尝试与劳务派遣单位或用工单位进行协商，要求其支付相应的赔偿金或经济补偿。在协商过程中，保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和依据。
劳动仲裁：
- 若协商不成，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，需提交相关证据支持自己的主张，并按照仲裁委员会的要求填写仲裁申请书。
诉讼：
- 对仲裁裁决不服的，除法律另有规定外，可向人民法院提起诉讼以维护自身合法权益。在诉讼过程中，需遵循法院的诉讼程序，提交证据并陈述事实和理由。
四、注意事项
- 区分责任主体：在劳务派遣关系中，劳务派遣单位是用人单位，用工单位仅在特定情形下承担责任。因此，在维权时需明确责任主体。
- 关注时效性：劳动仲裁申请需在知道权利被侵害之日起一年内提出。因此，劳动者在得知被辞退后，应及时采取行动维护自己的权益。
- 避免自行离职：在未明确赔偿方案前，切勿签署自愿离职协议，以免丧失索赔权利。若已签署相关协议，但认为存在不公平或违法情形，可寻求法律援助或咨询专业律师。
综上所述，第三方合同被辞退的赔偿情况复杂多变，需根据合同性质、辞退原因及合同约定等多方面因素综合判断。劳动者在面临此类情况时，应充分了解自身权益，并依法采取适当措施维护自身合法权益。如有需要，可咨询专业律师或劳动监察部门以获取更具体的法律建议和帮助。