结论：在停工留薪期内，即使劳动者与另一单位签订了劳动合同，原用工单位仍需支付停工留薪期工资，除非存在特定法定情形可以免除或调整这一责任。以下是对此问题的详细分析：
一、停工留薪期的基本规定
根据《工伤保险条例》第三十三条，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。这意味着，停工留薪期是劳动者因工伤而享有的法定休息期，期间原用工单位有义务保持其工资福利待遇不变。
二、与另一单位签订劳动合同的影响
一般情况：劳动者在停工留薪期内与另一单位签订劳动合同，并不改变其与原用工单位之间的劳动关系。因此，原用工单位仍需按照《工伤保险条例》的规定支付停工留薪期工资。
特殊情况：如果劳动者与另一单位签订的劳动合同导致其无法继续履行与原用工单位的劳动合同，或者原用工单位能够证明劳动者已实际为新单位工作并获得了相应报酬，那么原用工单位可能可以根据实际情况调整或免除支付停工留薪期工资的责任。但这种情况需要具体证据支持，且并非法定免除责任的理由。
三、法定免除或调整责任的情形
劳动者存在过错：如果劳动者在停工留薪期内存在严重违反规章制度、严重失职、营私舞弊等行为，给原用工单位造成重大损害，原用工单位可以依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同，并可能因此免除或调整支付停工留薪期工资的责任。但这种情况较为特殊，且需要具体证据支持。
双方协商一致：如果劳动者与原用工单位协商一致，可以调整或免除支付停工留薪期工资的责任。但这种情况需要双方明确约定，并确保不违反法律法规的强制性规定。
四、法律建议
对于劳动者：在停工留薪期内，应谨慎与另一单位签订劳动合同，以免影响与原用工单位的劳动关系及停工留薪期工资的支付。如果确实需要签订新合同，建议先与原用工单位沟通并达成一致意见。
对于原用工单位：应严格按照《工伤保险条例》的规定支付停工留薪期工资，不得因劳动者与另一单位签订劳动合同而免除或调整这一责任。如果认为劳动者存在过错或双方已协商一致，应保留相关证据以备不时之需。
争议解决：如果双方就停工留薪期工资的支付问题产生争议，可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径解决。在争议解决过程中，应提供充分证据证明自己的主张。
总结：停工留薪期内，原用工单位一般需支付停工留薪期工资，即使劳动者与另一单位签订了劳动合同。但在特定情况下，如劳动者存在过错或双方协商一致，原用工单位可能可以免除或调整这一责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。