核心结论：在私人小厂上班没有劳动合同，发生工伤后，可按以下程序处理：先收集能证明劳动关系的证据，再申请工伤认定，接着进行劳动能力鉴定，最后根据鉴定结果主张相应赔偿。具体如下：

收集证据证明劳动关系

由于没有签订劳动合同，首要任务是收集能证明与工厂存在事实劳动关系的证据，这是后续申请工伤认定等程序的基础。以下这些证据都可能起到关键作用：

1. 工资支付记录：如工资条、银行转账记录等，能显示工厂定期向你支付工资，证明双方存在经济往来和雇佣关系。
2. 工作证、工作服：这些物品上若有工厂的标识，能直观地表明你是该工厂的员工。
3. 考勤记录：包括打卡记录、签到表等，可证明你在工厂的工作时间和出勤情况。
4. 同事证言：与你一同工作的同事的书面证言，能证实你在工厂工作的事实。
5. 工作记录：如工作邮件、工作聊天记录、工作照片等，能体现你为工厂提供了劳动。

申请工伤认定

1. 申请主体：用人单位应在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若工厂未按规定申请，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
2. 申请材料：一般需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等。
3. 认定流程：社会保险行政部门受理工伤认定申请后，会根据审核需要可以对事故伤害进行调查核实，用人单位、职工、工会组织、医疗机构以及有关部门应当予以协助。社会保险行政部门自受理工伤认定申请之日起60日内作出工伤认定的决定，并书面通知申请工伤认定的职工或者其近亲属和该职工所在单位。

劳动能力鉴定

1. 申请条件：工伤职工经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，或者停工留薪期满（含劳动能力鉴定委员会确认的延长期限），工伤职工或者其用人单位应当及时向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。
2. 申请材料：通常需要提交工伤认定决定书原件和复印件、有效的诊断证明、按照医疗机构病历管理有关规定复印或者复制的检查、检验报告等完整病历材料、工伤职工的居民身份证或者社会保障卡等其他有效身份证明原件和复印件、劳动能力鉴定委员会规定的其他材料。
3. 鉴定流程：设区的市级劳动能力鉴定委员会收到劳动能力鉴定申请后，会从其建立的医疗卫生专家库中随机抽取3名或者5名相关专家组成专家组，由专家组提出鉴定意见。设区的市级劳动能力鉴定委员会根据专家组的鉴定意见作出工伤职工劳动能力鉴定结论；必要时，可以委托具备资格的医疗机构协助进行有关的诊断。设区的市级劳动能力鉴定委员会应当自收到劳动能力鉴定申请之日起60日内作出劳动能力鉴定结论，必要时，作出劳动能力鉴定结论的期限可以延长30日。劳动能力鉴定结论应当及时送达申请鉴定的单位和个人。

主张赔偿

1. 赔偿项目：根据劳动能力鉴定结果，工伤职工可享受相应的工伤保险待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金等。具体赔偿项目和标准根据伤残等级和当地相关规定确定。
2. 协商赔偿：工伤职工可以先与工厂协商赔偿事宜，明确各项赔偿金额和支付方式等。
3. 申请劳动仲裁：若协商不成，工伤职工可以在知道或应当知道其权利被侵害之日起1年内，向劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求工厂支付相应的工伤赔偿。
4. 提起诉讼：对劳动仲裁裁决不服的，工伤职工可以在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。