结论：若劳动监察部门对停工留薪期工资支付问题不予受理，且该不予受理决定存在违法情形时，可以提起行政诉讼。以下从多个角度进行详细分析：
一、行政诉讼的适用条件
根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。在停工留薪期工资支付问题中，如果劳动监察部门不予受理的决定被认为侵犯了劳动者的合法权益，且该决定存在违法情形（如超越职权、滥用职权、适用法律错误等），那么劳动者就有权提起行政诉讼。
二、不予受理决定的合法性审查
职权范围：首先，需要审查劳动监察部门是否具有对停工留薪期工资支付问题进行处理的职权。如果劳动监察部门确实不具有该职权，那么其不予受理的决定可能是合法的，但此时劳动者可以寻求其他救济途径，如向有管辖权的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
事实认定：其次，需要审查劳动监察部门在不予受理决定中认定的事实是否清楚、证据是否充分。如果事实认定不清或证据不足，那么该决定可能存在违法情形。
法律适用：最后，需要审查劳动监察部门在不予受理决定中适用的法律是否正确。如果适用的法律错误或存在歧义，那么该决定也可能存在违法情形。
三、行政诉讼的提起与审理
提起诉讼：如果劳动者认为劳动监察部门的不予受理决定存在违法情形，可以在知道该决定之日起六个月内，向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。提起诉讼时，需要提交起诉状和相关证据材料。
审理过程：人民法院在受理行政诉讼后，会依法组成合议庭进行审理。审理过程中，双方当事人有权进行陈述、举证、质证和辩论。人民法院会根据事实和法律，对劳动监察部门的不予受理决定进行合法性审查，并作出判决。
四、其他救济途径
除了行政诉讼外，劳动者还可以考虑以下救济途径：
申请行政复议：如果劳动者认为劳动监察部门的不予受理决定存在违法情形，还可以在知道该决定之日起六十日内，向有管辖权的行政复议机关申请行政复议。行政复议机关会对该决定进行审查，并作出复议决定。
申请劳动争议仲裁：如果停工留薪期工资支付问题属于劳动争议范畴，劳动者还可以向有管辖权的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会会依法进行仲裁，并作出仲裁裁决。
五、建议与注意事项
及时咨询：在遇到停工留薪期工资支付问题时，建议劳动者及时咨询专业律师，了解自己的权益和救济途径。
保留证据：劳动者在申请劳动监察、行政复议或提起行政诉讼时，需要保留好相关证据材料，以便证明自己的主张。
遵守程序：在申请救济时，劳动者需要遵守相关程序规定，如提交申请的时间、地点、方式等，以免因程序问题而影响自己的权益。
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