结论：机关工勤人员辞职单位拖着不批，单位直接开除员工的行为是否合法，需根据具体情况判断。若员工辞职符合法定程序，单位开除行为则违法；若员工辞职不符合法定程序或存在特殊约定，且严重违反单位规定或损害单位利益，单位开除行为可能合法。以下从多个角度进行详细分析：
一、员工辞职的合法性分析
法定辞职程序：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十七条及《事业单位人事管理条例》第十七条，劳动者（包括机关工勤人员）提前三十日以书面形式通知用人单位（即所在机关），可以解除劳动合同（或聘用合同）。这是员工辞职的法定程序，员工应严格遵守。
- 若员工已按照法定程序提前三十日书面通知单位，且双方对解除聘用合同没有另有约定，那么员工有权在三十日后离职，单位无权阻止。
特殊约定与服务期：
- 若员工与单位签订了服务期协议，且在服务期内提出辞职，单位有权要求员工履行服务期义务。员工执意辞职时，单位可追究违约责任，但不一定直接开除。
- 对于涉及国家机密、重要科研项目等特殊岗位的员工，需遵循相关保密法规和单位规章制度，完成特定任务或脱密期后方可离职。擅自离职可能对国家和单位造成重大损害，此时单位开除行为可能合法。
二、单位开除员工的合法性分析
开除的法定情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，单位可在员工出现严重违规、失职、与其他单位建立劳动关系等情形下解除劳动合同。具体包括：在试用期间被证明不符合录用条件的；严重违反用人单位的规章制度的；严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；被依法追究刑事责任的。
- 若员工未出现这些情形，单位以辞职不批为由开除员工则构成违法解除。
开除的程序要求：
- 单位开除员工必须遵循严格的法律规定和程序，包括事先告知、听取员工陈述申辩等。未经法定程序直接开除员工，同样构成违法解除。
三、员工应对措施
保留证据：
- 员工在提出辞职时，应通过可靠方式（如快递）向单位邮寄辞职书，并保留好相关证据，如快递单、辞职书复印件等，以备后续维权之需。
申请劳动仲裁：
- 若单位拒绝批准辞职并开除员工，员工可向人事争议仲裁委员会提起仲裁，请求恢复劳动关系或支付赔偿金等。在仲裁过程中，员工应提供充分的证据证明自己的辞职行为符合法定程序，且单位开除行为违法。
法律维权：
- 若员工对仲裁结果不满，还可向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。在诉讼过程中，员工应积极配合法院的调查和审理工作，提供必要的证据和材料。
建议：机关工勤人员在辞职过程中应严格遵守法定程序，保留好相关证据。若单位拖着不批或直接开除员工，员工应积极采取措施维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。