当您的劳动合同到期后没有续签，但您仍在用人单位继续工作并遭遇了工伤时，您可以按照以下步骤来处理这个问题，以保障自己的合法权益：

一、确认劳动关系存续情况

1. 视为续签（事实劳动关系）：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳动合同期满后，若您仍在原用人单位工作且用人单位未表示异议，那么双方就视为同意以原条件继续履行劳动合同，即存在事实劳动关系。在此期间发生的工伤，用人单位是需要承担工伤赔偿责任的。

2. 特殊保护情形：如果您在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力，那么您的劳动合同应当续延至相应情形消失时才能终止。

二、进行工伤认定与申请赔偿

1. 申请工伤认定：

   • 单位申请：所在单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。特殊情况可适当延长。
   • 个人申请：如果单位未按时申请，您或您的近亲属、工会组织可以在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接提出工伤认定申请。

2. 准备申请材料：包括工伤认定申请表、劳动关系证明材料（如工作证、工资条、考勤记录等）、医疗诊断证明或职业病诊断证明书等。

3. 劳动能力鉴定：在伤情稳定后，如果存在残疾或影响劳动能力的情况，应进行劳动能力鉴定，以确定伤残等级和生活自理障碍程度。

4. 申请赔偿：

   • 已缴纳工伤保险：由工伤保险基金支付工伤待遇，包括医疗费用、康复费用、一次性伤残补助金等；用人单位则需支付停工留薪期工资等。
   • 未缴纳工伤保险：由用人单位支付全部工伤待遇，具体项目和标准参照《工伤保险条例》及当地规定。

三、处理劳动合同与经济补偿问题

1. 劳动合同续延：在工伤期间，如果劳动合同到期，用人单位不得终止劳动合同，应续延至相应情形消失。

2. 经济补偿：如果用人单位决定不再续签劳动合同，或者您因工伤无法继续工作而解除劳动合同，用人单位需按您在本单位的工作年限支付经济补偿金。标准为每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。

四、保护自身权益

1. 保留证据：在整个过程中，您应妥善保留与用人单位存在事实劳动关系的证据，如工作记录、工资发放记录、考勤记录等，以备不时之需。

2. 协商与投诉：首先尝试与用人单位协商解决续签劳动合同或工伤赔偿事宜。如果协商不成，您可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，必要时可提起诉讼来维护自己的合法权益。

综上所述，即使劳动合同到期未续签，但您仍在继续工作并遭遇了工伤，您依然有权要求用人单位承担工伤认定与赔偿的责任，并保护自己的合法权益。在处理过程中，请务必保留好相关证据，积极与用人单位沟通协商，并在必要时采取法律手段来维护自己的权益。