针对私立学校中途辞退员工以及合同到期不续约这两种情况，赔偿方式分别如下：

1. 私立学校中途辞退员工

   • 合法辞退：如果私立学校能够证明员工存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等，学校可以合法辞退员工，且无需支付经济补偿。但需注意，学校需承担举证责任，证明员工的违规行为或失职行为达到严重程度。
   • 违法辞退：如果私立学校无法证明员工存在上述违规行为，或者辞退程序不合法（如未提前通知、未支付代通知金等），则构成违法辞退。根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，员工有权要求学校继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍，经济补偿按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。

2. 合同到期不续约

   • 一般情况：根据《劳动合同法》第四十四条和第四十六条，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准同样按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
   • 特殊情况：如果劳动合同中约定了合同到期自动续延的条款，或者双方有口头约定但已实际履行且员工无异议的，可能视为双方已续订劳动合同。此时，如果学校提出不续约，仍需按照上述标准支付经济补偿。另外，如果员工存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，学校在合同到期时选择不续约，可能无需支付经济补偿，但需注意，这种情况下的不续约应基于员工的违规行为或失职行为，且学校需承担举证责任。

总结与建议：

• 对于中途辞退的情况，学校应确保辞退程序的合法性和合规性，避免违法辞退带来的法律风险。
• 对于合同到期不续约的情况，学校应提前与员工沟通，明确续约意向，并按照法律规定支付经济补偿（如适用）。
• 在处理劳动纠纷时，建议学校与员工进行友好协商，寻求和解或调解的方式解决争议，以降低法律成本和负面影响。
• 如果双方无法达成一致，建议学校及时咨询专业律师，了解自身权利和义务，并准备相应的法律文件和证据，以应对可能的法律诉讼。