私立学校解散或合同到期时，对于老师的补偿问题，主要取决于学校是否合法解除劳动合同以及具体的法律规定。以下是根据《劳动合同法》及一般法律原则，对这一问题进行的详细解答：
一、合法解除劳动合同的经济补偿
支付条件：
- 私立学校因解散或合同到期等原因，合法与老师解除劳动合同的，应当支付经济补偿金。
支付标准：
- 经济补偿金按老师在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向老师支付。
- 工作年限六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向老师支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资是指老师在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
无需支付补偿的情形：
- 如果老师存在过错，如严重违反学校规章制度、严重失职等，学校解除劳动合同的，无需支付经济补偿金。
二、违法解除劳动合同的经济赔偿
支付条件：
- 私立学校如果违法与老师解除劳动合同，如无故辞退老师等，应当支付经济赔偿金。
支付标准：
- 经济赔偿金的标准是经济补偿金的两倍，即按老师在本单位工作的年限，每满一年支付两个月工资的标准向老师支付。
三、协商一致解除劳动合同的经济补偿
支付条件：
- 由学校主动提出解除劳动合同，并经协商一致获老师同意的，学校需支付经济补偿金。
支付标准：
- 支付标准与合法解除劳动合同的经济补偿金标准相同，即按老师在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向老师支付。
综上所述，私立学校解散或合同到期时，对于老师的补偿问题，应根据学校是否合法解除劳动合同以及具体的法律规定来确定。学校应严格遵守相关法律法规，确保老师的合法权益得到保障。