针对行政复议法中关于行政机关不履行法定职责与逾期不予答复的不同救济规定，结论如下：
行政机关不履行法定职责的救济规定
- 定义与情形：行政机关不履行法定职责，通常指的是行政机关在接到公民、法人或其他组织的合法申请后，无正当理由拒绝履行或拖延履行其应当承担的法定职责。
- 救济途径：根据《行政复议法》的相关规定，公民、法人或其他组织认为行政机关不履行法定职责的，可以自知道该不履行行为之日起六十日内提出行政复议申请。行政复议机关在受理申请后，会依法对行政机关的不履行行为进行审查，并作出相应的复议决定，如责令行政机关履行法定职责等。
- 法律后果：若行政复议机关认定行政机关确实存在不履行法定职责的行为，且该行为违法，则行政机关需承担相应的法律责任，包括履行法定职责、赔偿损失等。
行政机关逾期不予答复的救济规定
- 定义与情形：行政机关逾期不予答复，指的是行政机关在接到公民、法人或其他组织的申请后，未在法定期限内给予答复或处理。这通常表现为行政机关对申请置之不理或拖延处理。
- 救济途径：同样根据《行政复议法》，公民、法人或其他组织认为行政机关逾期不予答复的，也可以自知道该逾期行为之日起六十日内提出行政复议申请。行政复议机关在受理申请后，会审查行政机关是否在法定期限内履行了答复或处理的职责，并据此作出复议决定。
- 法律后果：若行政复议机关认定行政机关确实存在逾期不予答复的行为，且该行为违法，则行政机关需承担相应的法律责任，如被责令在规定期限内给予答复或处理，并可能面临其他行政处罚。
进一步分析与建议：
- 区分两者的重要性：虽然行政机关不履行法定职责与逾期不予答复在表现形式上有所不同，但两者都侵犯了公民、法人或其他组织的合法权益。因此，在申请行政复议时，需要明确区分这两种情形，以便行政复议机关能够准确审查并作出相应的复议决定。
- 申请行政复议的注意事项：在申请行政复议时，建议申请人提供充分的证据材料，以证明行政机关存在不履行法定职责或逾期不予答复的行为。同时，申请人也应注意行政复议申请的期限，确保在法定期限内提出申请。
- 寻求专业法律帮助：由于行政复议程序涉及复杂的法律问题和程序要求，建议申请人在必要时寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到有效维护。
总结与提醒：
行政机关不履行法定职责与逾期不予答复是两种不同的行政行为，但都可能对公民、法人或其他组织的合法权益造成侵害。在面临这两种情形时，申请人可以通过申请行政复议来维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。