结论前置：当行政机关不履行行政复议决定时，被申请人（即原行政机关）可以通过以下几种途径来寻求救济：一是提起行政诉讼，二是履行法定职责或接受上级机关的责令履行，三是在特定情况下通过申诉或其他法定监督途径来维护自身权益。
一、提起行政诉讼
法律依据与适用情形
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，当行政机关不履行行政复议决定时，若该决定维持了原行政行为，被申请人可以与复议机关一同作为被告，向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。法院将对行政行为的合法性进行审查，并作出裁决。
- 若复议机关改变了原行政行为，被申请人则可以对复议机关单独提起行政诉讼，要求法院审查复议决定的合法性和合理性。
起诉期限与程序
- 提起诉讼的期限通常为收到复议决定书之日起十五日内。务必注意这一时间限制，以免错过诉讼时机。
- 起诉时，应提交起诉状和相关证据材料，明确诉讼请求和事实理由。
二、履行法定职责或接受上级机关的责令履行
法律依据
- 根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，被申请人应当履行行政复议决定。如果被申请人不履行或者无正当理由拖延履行行政复议决定的，行政复议机关或者有关上级行政机关应当责令其限期履行。
具体操作
- 在这种情况下，即使被申请人对复议决定有异议，也需先按决定内容执行。若不履行或拖延履行，将面临复议机关或上级机关的责令限期履行，甚至可能承担更严重的法律责任。
三、申诉或其他法定监督途径
法律依据与适用情形
- 在某些特定情况下，如果被申请人认为复议决定存在错误，且通过常规诉讼途径难以获得有效救济，可以考虑向特定国家机关提出申诉，请求审查纠正。
- 此外，还可以通过人大监督、监察监督等其他法定途径来维护自身权益。这些途径虽然不直接针对行政复议决定，但可以在更广泛的层面上对行政机关的行为进行监督和纠正。
操作建议
- 在选择申诉或其他法定监督途径时，应仔细研究相关法律法规和政策规定，确保申诉请求明确、证据充分。
- 必要时，可以寻求专业法律帮助，以确保申诉的顺利进行和有效维护自身权益。
四、注意事项与建议
- 遵守法定程序和时限：无论选择何种救济途径，都必须严格遵守法定程序和时限要求。错过诉讼时机或违反法定程序可能导致救济请求被驳回或无法得到有效处理。
- 充分准备证据材料：在提起诉讼或申诉时，应充分准备相关证据材料，以支持自己的诉讼请求或申诉理由。证据材料应真实、合法、有效，并能够充分证明自己的主张。
- 寻求专业法律帮助：如果对法律程序或证据材料准备不熟悉，建议寻求专业法律帮助。律师可以提供专业的法律意见和指导，帮助你更好地维护自身权益。
综上所述，当行政机关不履行行政复议决定时，被申请人可以通过提起行政诉讼、履行法定职责或接受上级机关的责令履行以及申诉或其他法定监督途径来寻求救济。在选择救济途径时，应根据具体情况和法律法规的规定进行综合考虑和选择。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。