针对您提出的“医院合并时无固定期限员工如何处理”的问题，这主要涉及到劳动关系的认定以及劳动合同的承继问题。以下是我为您提供的详细解答：

一、劳动关系的认定

在原用人单位（如甲医院）被合并至新用人单位（如乙医院）的情况下，劳动关系的认定主要依据劳动和社会保障部《关于确立劳动关系有关事项的通知》中的相关规定。具体来说，如果劳动者（如曹某）与原用人单位之间存在事实劳动关系，且该劳动关系符合以下条件，则该劳动关系应由新用人单位承继：

1. 主体资格：用人单位和劳动者均符合法律、法规规定的主体资格。
2. 劳动管理：用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，并从事用人单位安排的有报酬的劳动。
3. 业务组成部分：劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。

在您提到的案例中，曹某虽然未与甲医院或乙医院签订书面劳动合同，但如果其能提供证据证明自己接受了甲医院或乙医院的劳动管理，并从事了有报酬的劳动，且该劳动是医院业务的组成部分，那么就可以认定曹某与医院之间存在事实劳动关系。

二、劳动合同的承继

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十四条的规定：“用人单位发生合并或者分立等情况，原劳动合同继续有效，劳动合同由承继其权利和义务的用人单位继续履行。”这意味着，在甲医院被合并至乙医院的情况下，甲医院与无固定期限员工（如曹某）之间的劳动合同应由乙医院继续履行。

三、具体处理建议

1. 确认劳动关系：首先，无固定期限员工应确认自己与原用人单位（甲医院）之间是否存在事实劳动关系，并收集相关证据（如工资流水、工作证、考勤记录等）以备不时之需。

2. 与新用人单位沟通：在甲医院被合并至乙医院后，无固定期限员工应主动与乙医院沟通，了解自己的工作安排、薪资待遇等是否发生变化，并确认乙医院是否愿意继续履行原劳动合同。

3. 签订书面劳动合同：尽管原劳动合同继续有效，但为了更好地保障自己的权益，无固定期限员工可以与乙医院协商签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。

4. 关注法律法规变化：无固定期限员工应关注相关法律法规的变化，确保自己的权益不受侵害。如果乙医院存在违法行为（如未按时支付工资、未提供劳动保护等），员工可以向劳动监察部门投诉或寻求法律援助。

5. 保留证据以备争议：在整个过程中，无固定期限员工应保留好所有与劳动关系相关的证据，以备在发生争议时能够证明自己的权益。

综上所述，医院合并时无固定期限员工的处理主要涉及到劳动关系的认定和劳动合同的承继问题。员工应确认自己与原用人单位之间的劳动关系，并与新用人单位沟通协商，确保自己的权益得到保障。