私人物流公司司机与公司的关系是否构成劳动关系，需根据具体情况来判断，但通常情况下，若司机受公司直接管理并符合劳动关系特征，则构成劳动关系；若司机以自有车辆提供服务且自主性强，则可能构成劳务关系。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动关系的认定
定义与特征：
- 劳动关系是指劳动者与用人单位之间，依法签订劳动合同，劳动者成为用人单位的成员，接受用人单位的管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动，并遵守用人单位的规章制度。
- 在劳动关系中，劳动者对用人单位具有人格和经济上的从属性，即劳动者在劳动过程中需要服从用人单位的安排和管理，且其经济收入主要来源于用人单位支付的工资。
构成劳动关系的情形：
- 如果司机与私人物流公司签订了正式的劳动合同，明确约定了工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬等条款，且司机接受公司的直接管理，如遵守公司的工作时间、路线规划、装卸货物等要求，那么双方之间通常构成劳动关系。
- 另外，如果公司为司机提供了运输工具（如货车），并负责车辆的保养、维修和保险等费用，这也进一步表明司机是公司的员工，双方之间构成劳动关系。
二、劳务关系的认定
定义与特征：
- 劳务关系是指两个或两个以上的平等主体之间，根据口头或书面约定，由一方向另一方提供一次性或特定的劳动服务，对方依约支付报酬的一种有偿服务的法律关系。
- 在劳务关系中，提供劳务的一方并不是接受劳务一方的职工，双方不存在隶属关系，而是平等主体之间的合同关系。
构成劳务关系的情形：
- 如果司机以自有车辆为私人物流公司提供运输服务，并按照运输的次数、里程或货物的重量来结算报酬，且双方没有签订正式的劳动合同，司机在工作中具有较大的自主性（如自行安排工作时间、路线等），那么这种合作模式下，司机与物流公司之间更可能构成劳务关系。
- 另外，如果物流公司只是偶尔需要司机的运输服务，或者司机同时为多家物流公司提供服务，并不专属于某一家物流公司，那么这种情况下也更容易被认定为劳务关系。
三、特殊情况下的考量
- 在某些特殊情况下，如司机伤亡事故的处理中，可能会依据相关法律规定和司法解释，认定为与挂靠单位（若私人物流公司存在挂靠情形）之间存在事实劳动关系，以保障司机的合法权益。但这种情况下的“事实劳动关系”并非劳动法意义上的严格劳动关系，而是特定情境下的法律拟制。
四、法律建议
- 对于司机：如果你与私人物流公司之间存在劳动关系争议，建议首先查看是否签订了劳动合同，并收集相关证据（如工资发放记录、工作安排记录等）以证明双方的关系。如果认为自己的权益受到侵害，可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 对于私人物流公司：建议明确与司机之间的法律关系，并签订相应的合同以明确双方的权利和义务。如果希望与司机建立劳动关系，应签订正式的劳动合同并遵守相关劳动法律法规；如果希望建立劳务关系，则应明确劳务内容、报酬支付方式等条款。
总之，私人物流公司司机与公司的关系是否构成劳动关系需根据具体情况来判断。如果你对此问题仍有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。