在这种情况下，工厂上班期间因意外事故死亡，家属有权获得相应的工伤赔偿，赔偿项目主要包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。以下是对各项赔偿的详细解释：

1. 丧葬补助金：

   • 法律依据：根据《工伤保险条例》第三十九条，丧葬补助金为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
   • 计算方式：假设统筹地区上年度职工月平均工资为X元，则丧葬补助金为6X元。

2. 供养亲属抚恤金：

   • 法律依据：同样依据《工伤保险条例》第三十九条，供养亲属抚恤金按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。
   • 具体标准：
     • 配偶每月40%；
     • 其他亲属每人每月30%；
     • 孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。
   • 计算示例：假设职工本人工资为Y元，其配偶和一名子女符合供养条件，则配偶每月抚恤金为0.4Y元，子女每月抚恤金为0.3Y元。若职工还有八十多岁的母亲需要供养，且母亲无其他生活来源，则母亲也可获得每月0.3Y元的抚恤金（若母亲为孤寡老人，则抚恤金为0.4Y元）。

3. 一次性工亡补助金：

   • 法律依据：根据《工伤保险条例》第三十九条，一次性工亡补助金标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
   • 计算方式：假设上一年度全国城镇居民人均可支配收入为Z元，则一次性工亡补助金为20Z元。

额外建议：

• 及时申报工伤：家属应在知道或应当知道职工因工死亡之日起一年内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请，以确保能够享受工伤保险待遇。
• 保留相关证据：家属应保留好与职工死亡相关的所有证据，如医疗记录、事故报告、证人证言等，以便在申请工伤认定和索赔时使用。
• 协商与诉讼：如果工厂拒绝支付赔偿或双方对赔偿金额有争议，家属可以通过协商、调解或诉讼等方式解决纠纷。在此过程中，建议家属寻求专业律师的帮助，以更好地维护自己的合法权益。

可能遇到的法律后果：

• 如果工厂未依法为职工缴纳工伤保险费，那么根据《工伤保险条例》第六十二条，工厂需要承担全部的工伤保险待遇支付责任。
• 如果家属未能在规定时间内提出工伤认定申请，可能会影响工伤保险待遇的享受。但根据《工伤保险条例》第十七条，如果因特殊原因（如不可抗力）导致申请延误，家属仍有可能在延误原因消除后的一定期限内提出申请。

总结与提醒：

在这种情况下，家属应尽快了解并行使自己的合法权益，包括申请工伤认定、索赔丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。如果遇到任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。