在厂子倒闭且未给予补偿的情况下，不建议您签字解除劳动关系。以下是从不同角度为您详细分析的原因及建议：
一、法律角度
经济补偿的法定性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位因破产、解散等原因终止劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 如果您在未获得经济补偿的情况下签字解除劳动关系，可能视为您放弃了这一法定权利，后续再主张经济补偿可能会面临法律障碍。
签字解除劳动关系的法律后果：
- 签字解除劳动关系通常意味着您与用人单位之间的劳动关系正式终止。一旦签字，您可能难以再就劳动关系存续期间的问题（如工资、加班费、经济补偿等）向用人单位主张权利。
- 如果用人单位在您签字后破产清算，您可能面临无法追讨经济补偿的风险，因为破产清算程序通常优先清偿破产费用和共益债务，然后按照法定顺序清偿其他债务，而劳动者的经济补偿可能排在较后的位置。
二、实际操作角度
协商与谈判：
- 在厂子倒闭的情况下，您可以与用人单位协商经济补偿的支付方式和时间。如果用人单位确实无力一次性支付，您可以考虑接受分期支付或其他合理的支付方式。
- 在协商过程中，您可以要求用人单位出具书面承诺，明确经济补偿的支付金额、时间和方式，以保障您的合法权益。
法律途径：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付经济补偿。仲裁是解决劳动争议的一种有效方式，具有程序简便、效率较高的特点。
- 如果对仲裁结果不服，您还可以向人民法院提起诉讼，通过司法程序维护自己的合法权益。
三、建议与注意事项
保留证据：
- 在与用人单位协商或申请仲裁、诉讼过程中，您需要保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作证、解除劳动关系通知书等，以证明您与用人单位之间的劳动关系以及您的工资、工作年限等情况。
谨慎签字：
- 在未获得经济补偿或未就经济补偿达成一致意见的情况下，建议您谨慎签字解除劳动关系。一旦签字，可能对您后续主张权利产生不利影响。
及时咨询：
- 如果您对经济补偿的计算、支付方式或法律程序等方面存在疑问，建议您及时咨询专业律师或劳动争议调解机构，以获取更具体的法律建议和帮助。
总结来说，在厂子倒闭且未给予补偿的情况下，不建议您签字解除劳动关系。您可以通过协商、仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。