结论前置：即使员工受伤的情形不构成工伤，公司仍可能基于不同情况承担相应的责任。具体责任需根据实际情况和相关法律法规综合判断。以下是对此问题的详细分析：

一、公司无过错时的基本义务

若公司不存在管理疏漏或安全保障缺失等过错，其责任主要限于协助员工处理后续事宜，如提供必要的证明文件（如考勤记录、工作证明等），以便员工申请其他相关救助或保险理赔，但公司无需承担直接的赔偿责任。

二、公司存在过错时的赔偿责任

若公司存在以下情形，导致员工受伤，即使不构成工伤，公司也需依法承担相应责任：

1. 安全管理失职：公司未提供安全的工作环境，如地面湿滑未设置警示标志、设备故障未及时维修等，导致员工受伤。此时，公司需根据《民法典》侵权责任编承担医疗费、误工费、护理费等赔偿。

   • 例子：公司办公区域地面有油渍，未设置警示标志，员工滑倒受伤。公司因未尽到安全保障义务，需承担侵权赔偿责任。

2. 设备维护不当：公司提供的设备存在质量问题或维护不当，在正常使用过程中发生故障造成员工受伤。公司同样需承担侵权责任。

   • 例子：公司提供的机器设备存在故障，未及时维修，员工在使用时受伤。公司需承担医疗费、误工费等赔偿。

3. 组织活动过失：公司组织的活动中发生意外，如团建活动、培训活动等，因公司组织不当或安全保障措施不足导致员工受伤。公司也需承担相应责任。

   • 例子：公司组织的户外拓展活动中，因安全保障措施不足导致员工受伤。公司需承担医疗费、误工费等赔偿，并可能需承担精神损害抚慰金等。

三、基于劳动关系的法定义务

即使伤害不构成工伤，公司作为用人单位仍需履行以下法定义务：

1. 医疗期保障：公司需按病假制度支付员工工资及福利，确保员工在医疗期内得到基本的生活保障。
2. 劳动关系维持：公司不得随意解除劳动合同，除非符合法定解除条件（如员工严重违反公司规章制度、被依法追究刑事责任等）。
3. 人文关怀责任：公司应协助员工申请商业保险或社会救助，提供必要的心理支持和帮助，体现人文关怀。

四、争议解决途径

若双方对责任认定存在分歧，可通过以下方式解决：

1. 协商调解：优先通过企业内部机制或工会协调，寻求双方都能接受的解决方案。
2. 劳动仲裁：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，由仲裁机构对争议进行裁决。
3. 司法诉讼：对仲裁结果不服时，可向法院提起诉讼，通过司法程序解决争议。

总结与建议：

不构成工伤时，公司是否承担责任取决于多种因素，包括公司是否存在过错、是否履行了安全保障责任以及劳动合同和内部规定中的相关约定等。因此，建议公司在日常运营中加强安全管理，完善劳动合同和内部规定，以明确双方的权利和义务。同时，员工也应了解自己的权益和公司的责任边界，以便在必要时采取合适的法律行动维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。