结论前置：针对您提出的事业单位逾期半年不签劳动合同且无故开除的情况，劳动者有权要求事业单位支付未签劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。
具体分析如下：
未签劳动合同的双倍工资差额：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 在您的情况下，事业单位逾期半年未与您签订劳动合同，因此，您有权要求事业单位支付这半年期间（即五个月，因为第一个月不计算在内）的双倍工资差额。具体计算方式为：您应得的月工资乘以五个月。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿的标准通常是根据劳动者在用人单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 在您的情况下，由于事业单位是“无故开除”，即违法解除劳动合同，且您已在该单位工作半年（虽未签合同，但事实劳动关系存在），因此，您有权要求事业单位支付一个月工资作为经济补偿的两倍，即两个月的工资作为赔偿金。但考虑到实际工作年限可能不足一年，具体赔偿月数可能需根据实际情况和当地司法实践微调，但原则上应不低于一个月工资的两倍。若按半年计算，通常理解为应支付一个月工资作为经济补偿，再乘以二，即两个月工资作为赔偿金，不过具体还需结合实际情况判断。若严格从法律条文出发，且未满六个月，则经济补偿为半个月工资，赔偿金即一个月工资，但考虑到半年已接近六个月满，实践中可能会倾向于支持更高的赔偿，具体需法院或仲裁机构裁量。为简化理解，此处先按两个月工资赔偿金说明，实际处理时需详细计算。
综合建议：
- 您应首先与事业单位进行协商，要求其支付上述两项费用。
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求事业单位支付未签劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。
- 在申请仲裁时，您需要提供相关证据证明您与事业单位之间存在事实劳动关系，以及事业单位未与您签订劳动合同和无故开除您的事实。这些证据可以包括工资单、工作证、考勤记录、同事证言等。
额外提醒：
- 劳动争议的仲裁时效为一年，自您知道或应当知道自己的权益被侵害之日起计算。因此，请您尽快采取行动，以免错过仲裁时效。
- 在处理此类劳动争议时，建议您保留好所有相关证据，并咨询专业律师（即我本人）以获取更具体的法律建议和帮助。
如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。