结论：建筑公司与自行招用的农民工之间是否存在劳动关系，需根据具体情况进行综合判断。在符合法律规定的情形下，可以认定双方存在劳动关系；而在某些特定情况下，则可能不被认定为劳动关系。以下是对此问题的详细分析：
一、存在劳动关系的情形
直接雇佣关系：
- 如果建筑公司直接招聘农民工，并明确工作岗位、任务、时间等，同时按月支付工资，且农民工接受建筑公司的日常管理和监督，那么双方之间构成劳动关系。例如，建筑公司直接招用农民工在工地从事具体工作，制定考勤制度，并通过银行转账发放工资，此时即可认定双方存在劳动关系。
符合劳动和社会保障部规定情形：
- 根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》的相关规定，如果建筑公司和农民工符合法律、法规规定的主体资格，且农民工受建筑公司的劳动管理，从事有报酬的劳动，同时农民工提供的劳动是建筑公司业务的组成部分，那么即使双方未签订书面劳动合同，但只要有工作证、考勤记录、工资支付记录等能证明上述情形的，也可认定存在劳动关系。
特殊规定下的认定：
- 如果建筑公司将工程发包给不具有施工资质的组织或自然人，而该组织或自然人招用了农民工，那么根据相关规定，由具备用工主体资格的建筑公司承担用工主体责任。在此情况下，可认定农民工与建筑公司存在劳动关系。
二、不存在劳动关系的情形
劳务分包关系下：
- 如果建筑公司将劳务作业合法分包给具有资质的劳务分包公司，且农民工由劳务分包公司招用和管理，工资也由劳务分包公司发放，那么此时农民工与劳务分包公司存在劳动关系，而与建筑公司不存在劳动关系。
包工头雇佣关系下（但需注意地区差异和特殊规定）：
- 在违法转包、分包的情况下，如果包工头自行招用农民工施工，且包工头以自己的名义雇佣农民工，建筑公司并不直接对农民工进行管理和指挥，工资也由包工头发放而非建筑公司，那么通常情况下，农民工与建筑公司不存在劳动关系。但需注意，部分地区可能会基于保护农民工权益的考虑，要求建筑公司承担一定的用工主体责任或连带责任。
三、实际操作建议
建筑公司方面：
- 建筑公司应依法与农民工订立书面劳动合同，明确双方的权利和义务，以避免潜在的劳动纠纷。
- 在处理农民工与建筑公司之间的劳动关系争议时，建筑公司应根据具体情况和法律规定进行综合判断，并积极配合相关部门的调查和处理工作。
农民工方面：
- 农民工在提供劳动时，应尽量要求与建筑公司签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
- 如果发生劳动纠纷，农民工应及时收集相关证据（如工作证、考勤记录、工资支付记录等），并向当地劳动行政部门或劳动争议仲裁委员会申请仲裁或提起诉讼，以维护自己的合法权益。
四、案例参考
- 案例一：某建筑公司直接招聘农民工在工地从事具体工作，并制定考勤制度、通过银行转账发放工资。后因工资支付问题发生纠纷，农民工向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会经审理认为，双方构成劳动关系，建筑公司应依法支付农民工工资及经济补偿金。
- 案例二：某建筑公司将劳务作业分包给具有资质的劳务分包公司，并由劳务分包公司招用和管理农民工。后因劳务分包公司拖欠农民工工资发生纠纷。在此情况下，农民工应向劳务分包公司主张权利，而非直接向建筑公司主张权利。但若建筑公司存在违法分包等情形，可能需承担一定的连带责任。
综上所述，建筑公司与自行招用的农民工之间是否存在劳动关系需根据具体情况判断。在遇到相关纠纷或问题时，建议及时向我咨询以获取准确的解答和帮助。