结论：在第三次续签时未签订劳动合同的情况下，既可能涉及按未签订劳动合同的双倍工资赔偿，也可能涉及无固定期限劳动合同的签订，具体取决于多种因素。以下是对这两种情况的详细分析：
按未签订劳动合同的双倍工资赔偿：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于劳动合同期满后未续签的情况。
- 应用场景：如果第三次续签时，用人单位未与劳动者签订书面劳动合同，且这种情况持续超过一个月，那么劳动者有权要求用人单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资。
- 注意事项：双倍工资的赔偿期限通常自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，最长不超过十一个月。同时，劳动者需要在法定的仲裁时效内（通常为一年）提出仲裁申请。
按无固定期限劳动合同处理：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 应用场景：如果劳动者与用人单位已经连续订立了两次固定期限劳动合同，且在第三次续签时，劳动者没有违反法律规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、被依法追究刑事责任等），且劳动者提出或者同意续订劳动合同，除非劳动者明确要求订立固定期限劳动合同，否则用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
- 注意事项：无固定期限劳动合同并非“终身制”合同，它仍然可以因法定原因或双方协商一致而解除。同时，如果用人单位在第三次续签时未与劳动者签订无固定期限劳动合同，而劳动者又符合签订无固定期限劳动合同的条件，那么劳动者有权要求用人单位承担相应的法律责任。
综合建议：
- 在第三次续签时，用人单位应主动与劳动者协商并签订书面劳动合同，明确合同期限、工作内容、劳动报酬等关键条款。
- 如果用人单位未与劳动者签订书面劳动合同，劳动者应及时向用人单位提出签订要求，并保留好相关证据（如工作记录、工资单等），以便在必要时维护自己的合法权益。
- 如果劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，而用人单位未提出签订，劳动者可以在协商无果的情况下向劳动仲裁机构申请仲裁，要求用人单位签订无固定期限劳动合同或支付相应的赔偿。
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