关于单位聘请的看门大爷超过60周岁后是否还能享受工会福利的问题，这主要取决于具体的工会规定以及单位内部的政策，但我们可以从超龄劳动者的权益保障角度来进行分析。

首先，需要明确的是，根据最近出台的《超龄劳动者基本权益保障暂行规定》，我国已经明确了对超龄劳动者（即达到法定退休年龄的劳动者）的权益保障。这一规定填补了我国现行劳动法律制度的空白，为超龄劳动者提供了更为坚实的法律保障。

在工会福利方面，虽然《暂行规定》并未直接提及工会福利的具体内容，但我们可以从其保障超龄劳动者基本权益的精神出发进行推断。工会福利通常是单位为了增强员工凝聚力、提高员工满意度而提供的一种额外待遇，它可能包括但不限于节日慰问、生日礼物、健康检查等。

对于超龄劳动者而言，他们虽然已经达到了法定退休年龄，但仍然在为单位提供劳动服务，因此，从公平和合理的角度出发，他们应当有权享受与在职员工相似的工会福利。当然，这还需要根据单位的具体规定和政策来确定。

如果单位有明确的工会福利政策，并且该政策并未将超龄劳动者排除在外，那么看门大爷作为超龄劳动者，仍然有权享受这些福利。如果单位政策对此没有明确规定，或者存在模糊地带，那么建议与单位的人力资源部门或工会进行沟通，以明确看门大爷是否具备享受工会福利的资格。

此外，值得注意的是，无论看门大爷是否享受工会福利，单位都应当遵守《超龄劳动者基本权益保障暂行规定》中的相关规定，保障他的劳动报酬、休息休假、劳动安全卫生和工伤保障等合法权益。

综上所述，虽然《超龄劳动者基本权益保障暂行规定》并未直接规定超龄劳动者是否享受工会福利，但从保障超龄劳动者基本权益的精神出发，他们应当有权享受与在职员工相似的待遇。具体是否享受工会福利，还需根据单位的具体规定和政策来确定。如果对此存在疑问或争议，建议与单位的人力资源部门或工会进行沟通协商。