当员工遇到公司或单位不签无固定期限合同的情况时，可以按照以下步骤来处理，以维护自己的合法权益：
一、确认是否符合签订条件
首先，员工需要明确自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件。根据《劳动合同法》的相关规定，以下情形下员工有权要求签订无固定期限劳动合同：
- 在该用人单位连续工作满十年的；
- 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，员工在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
- 连续订立二次固定期限劳动合同，且员工没有严重违反规章制度或不能胜任工作等情形，续订劳动合同的；
- 用人单位自用工之日起满一年未与员工订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。
二、尝试与公司协商
确认自己符合签订条件后，员工应首先尝试与公司进行友好协商。在协商过程中，员工可以：
- 明确表达意愿：指出自己符合签订无固定期限劳动合同的条件，并表达签订此类合同的意愿。
- 阐述好处：说明签订无固定期限劳动合同对双方的好处，如增强员工稳定性、提高工作积极性等。
- 保留沟通记录：无论是书面还是面谈形式，都建议保留沟通记录作为后续维权的证据。
三、寻求外部帮助
如果协商无果，员工可以寻求外部帮助来维护自己的权益：
向劳动监察部门投诉举报：
- 准备相关材料，包括身份证复印件、劳动关系证明（如劳动合同、工资条、工作证等）以及符合签订无固定期限劳动合同条件的证据。
- 向当地劳动监察部门投诉举报，劳动监察部门有权责令单位改正违法行为，若单位逾期不改正，需从应签无固定期限劳动合同之日起每月支付员工双倍工资。
申请劳动仲裁：
- 如果劳动监察部门的处理未能达到预期效果，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 仲裁申请书应详细载明员工的基本信息、用人单位的信息、仲裁请求及所依据的事实和理由，并提供充足的证据支持。
- 仲裁委员会将依法进行审理，并作出裁决。若裁决要求单位支付双倍工资等经济补偿，单位必须履行。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不满意，员工可在规定期限内向人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，员工应充分阐述自己的诉求和理由，依靠法律维护自身合法权益。
- 法院将依据事实和法律进行全面审查，并作出最终判决。一旦判决生效，公司必须按照判决执行。
四、要求赔偿
根据《劳动合同法》第八十二条的规定，如果用人单位违反规定不与员工订立无固定期限劳动合同，员工有权要求用人单位自应当订立之日起向自己每月支付二倍的工资。二倍工资的计算基数为员工正常工作时间的月工资，计算期限从应当订立之日起至实际签订之日止，但最长不超过十一个月。
五、保持冷静与理性
在整个维权过程中，员工应保持冷静和理性，了解自己的法律权益和维权途径。同时，也要注意保留好所有相关的证据材料，如与公司沟通的记录、工作证、工资单、考勤记录、劳动合同等，以确保在协商、仲裁或诉讼中能够有力地支持自己的主张。
综上所述，当员工遇到公司不签无固定期限合同的情况时，应首先确认自己是否符合签订条件，然后依次通过协商、投诉举报、申请劳动仲裁及提起诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。