可以申请劳动仲裁。以下从不同角度为你详细分析：

1. 未签合同：根据《劳动合同法》规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。所以，公司没有和你签合同这一行为，本身就是违法的，你可以在劳动仲裁中主张公司支付未签合同期间的双倍工资差额。
2. 未买社保：用人单位为劳动者缴纳社会保险是法定义务。公司没有为你购买社保，损害了你的合法权益。在劳动仲裁中，你可以要求公司为你补缴社会保险。不过需要注意的是，补缴社保这一诉求，部分地区的劳动仲裁机构可能不会直接处理，而是会告知你向当地社保部门投诉，由社保部门责令公司补缴，但这并不影响你以未买社保为由申请劳动仲裁，因为这能证明你与公司之间存在劳动关系。
3. 没有打卡：打卡记录通常是用以证明劳动者出勤情况的证据，但没有打卡并不影响你与公司之间劳动关系的认定以及你主张其他权益。你可以通过其他证据来证明你的工作情况，比如工作证、工作服、同事的证言、与公司负责人沟通工作事宜的聊天记录、邮件等，这些证据都可以辅助证明你为公司提供了劳动。
4. 工资是别人代付：工资由别人代付并不必然影响劳动关系的认定。只要你能证明代付工资的人是受公司委托代为支付，或者公司认可这种支付方式，且你确实收到了工资，那么这也可以作为你与公司存在劳动关系以及公司支付工资的证据之一。你可以收集相关的转账记录、代付说明（如果有）等证据。

在申请劳动仲裁时，你需要准备一些基本材料，如劳动仲裁申请书、你的身份证明、能够证明你与公司存在劳动关系的证据等。如果你在准备材料或仲裁过程中有任何疑问，都可以直接向我咨询。