当您生病且劳动合同到期时，如果用人单位不续签劳动合同，您完全有权依据相关法律法规来维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的处理方式和法律依据：

一、首先明确您的权益

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工在患病或非因工负伤，且在规定的医疗期内时，劳动合同应当续延至医疗期满。这意味着，即使您的合同到期了，只要您还在医疗期内，用人单位就不能直接终止劳动合同。

二、医疗期的确定

医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，而用人单位不得解除劳动合同的时限。医疗期的长度根据您的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，一般为3个月到24个月不等。具体计算方式可以参照相关法规或咨询当地劳动部门。

三、处理方式

1. 与用人单位协商：

   • 您应首先尝试与用人单位进行友好协商，了解他们不续签的具体原因，并明确表达您希望继续履行劳动合同的意愿。
   • 如果双方能够达成一致，可以签订新的劳动合同或续订原合同，确保您的权益得到保障。

2. 申请劳动仲裁：

   • 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
   • 在申请仲裁时，您需要提供充分的证据，如医疗证明、劳动合同、工资单等，以证明您在生病期间且合同已到期，但用人单位未续签的事实。
   • 仲裁委员会将根据相关法律法规进行裁决，如果裁决支持您的诉求，用人单位将需要支付经济补偿金等相应赔偿。

3. 提起诉讼：

   • 如果您对仲裁结果不满意，还可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径进一步维护自己的权益。

四、经济补偿标准

如果用人单位因合同到期且未续签而终止劳动合同，且您不存在过错或不符合法定解除条件，那么用人单位应当向您支付经济补偿。经济补偿的标准按照您在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则向您支付半个月工资的经济补偿。

五、建议与注意事项

• 保留证据：在整个过程中，您一定要保留好所有相关的证据，如医疗证明、劳动合同、工资单、沟通记录等，以备不时之需。
• 了解法规：建议您提前了解相关的法律法规，以便更好地维护自己的权益。
• 寻求帮助：如果您在处理过程中遇到困难或不确定如何操作，可以寻求当地劳动部门、法律援助机构或专业律师的帮助。

总之，当您生病且劳动合同到期时，不要慌张或放弃自己的权益。依据相关法律法规，您完全有权要求用人单位续延劳动合同至医疗期满，并获得相应的经济补偿。希望以上解答能对您有所帮助。