结论：公司员工在休息期间受伤三个月没来上班，公司不能随意辞退该员工，具体能否辞退需根据员工受伤的性质（工伤或非工伤）以及公司的辞退理由来综合判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、工伤情形下的辞退规定
认定工伤期间：
- 如果员工受伤被认定为工伤，且在停工留薪期内（一般不超过12个月，伤情严重或情况特殊可适当延长），根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，公司不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在停工留薪期内，公司一般不能辞退该员工，且需按月支付原工资福利待遇。
工伤认定后：
- 若员工经治疗后被鉴定为伤残且丧失或者部分丧失劳动能力，同样依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，公司不能因其工伤后工作效率下降而辞退，除非员工存在严重违反公司规章制度等法定可解除劳动合同的情形。
二、非工伤情形下的辞退规定（患病或非因工负伤）
医疗期内：
- 如果员工受伤与工作无关（如非工作时间、非工作地点或非工作原因），且处于医疗期内（根据工作年限确定，实际工作年限10年以下且本单位工作年限不足5年的为3个月；满5年不满10年的为6个月；满10年以上的，每增加1年延长1个月，最长不超过24个月），根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，公司不得辞退员工。
医疗期满后：
- 医疗期满后，若员工不能从事原工作也不能从事单位另行安排的工作，依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，单位可以提前30日以书面形式通知或额外支付1个月工资后解除劳动合同，但需支付经济补偿。经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
三、特定情况下的辞退权利
- 即使员工受伤，如果其存在严重违反公司规章制度（《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项）、严重失职、营私舞弊等行为，公司仍有权依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定辞退员工。但需注意，公司需提供确凿证据证明员工存在上述行为，并确保辞退程序合规。
四、违法辞退的后果
- 如果公司违法辞退受伤员工，员工有权要求继续履行劳动合同或获得经济补偿标准的二倍作为赔偿金。同时，即便被辞退，员工因工伤或疾病产生的合理费用及伤残待遇，单位仍需按规定支付。
五、建议与措施
- 核实受伤性质：公司应首先通过调查明确受伤是否构成工伤，为后续处理提供依据。
- 履行法定义务：对工伤员工及时申报工伤认定，保障其停工留薪期待遇；对非工伤但处于医疗期的员工，依法支付病假工资并保留劳动关系。
- 协商解决方案：与员工沟通调整岗位、安排远程办公等灵活方式，既满足治疗需求又维持劳动关系。
- 合法解除合同：仅在法定情形下（如员工存在重大过错或协商一致）方可解除合同，且需确保程序合规。
总结：公司在处理员工受伤期间的辞退问题时，必须严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到保障。具体能否辞退需根据员工的受伤性质、医疗期情况以及公司的辞退理由来综合判断。如果您或公司在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。