核心结论：单位在劳动合同到期后，以您患有精神分裂症为由不续签劳动合同的行为可能涉嫌违法，您有权要求单位续签劳动合同或主张相应的经济补偿。以下从不同角度为您详细分析：

1. 从医疗期角度分析

   • 医疗期内的保护：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。在医疗期内，单位不得解除劳动合同，劳动合同期满的，应当续延至医疗期满。如果您尚处于医疗期内，单位不续签劳动合同的行为是违法的，您有权要求单位续签劳动合同至医疗期满。
   • 医疗期满后的处理：医疗期满后，如果您不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，单位可以提前三十日以书面形式通知您本人或者额外支付您一个月工资后，解除劳动合同。但单位需要支付您经济补偿，经济补偿按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。

2. 从劳动能力鉴定角度分析

   • 劳动能力鉴定的重要性：如果您对单位不续签劳动合同的决定有异议，或者您认为自己仍然具备劳动能力，可以申请劳动能力鉴定。劳动能力鉴定是指劳动功能障碍程度和生活自理障碍程度的等级鉴定，通过鉴定可以明确您的劳动能力状况。
   • 鉴定结果对劳动合同续签的影响：如果鉴定结果显示您仍然具备从事原工作或者单位另行安排的工作的能力，单位应当续签劳动合同。如果鉴定结果显示您丧失或者部分丧失劳动能力，单位可以根据相关规定处理劳动合同，但仍然需要支付相应的经济补偿。

3. 从单位行为合法性角度分析

   • 违法解除劳动合同的情形：如果单位在医疗期内或者没有经过劳动能力鉴定等法定程序，就以您患有精神分裂症为由不续签劳动合同，属于违法解除劳动合同。您有权要求单位继续履行劳动合同，或者要求单位支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。
   • 举证责任：在主张单位违法解除劳动合同时，您需要提供证据证明单位存在不续签劳动合同的行为以及该行为违反了相关法律法规。例如，劳动合同、医疗证明、单位不续签劳动合同的通知等。

建议：

1. 与单位进行沟通协商，了解单位不续签劳动合同的具体原因，并要求单位提供相关的依据和证明。
2. 如果协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉，要求劳动监察部门对单位的违法行为进行查处。
3. 您也可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过法律途径维护自己的合法权益。在申请仲裁时，您需要提交仲裁申请书、相关证据等材料。

如果您在处理过程中遇到任何问题或有进一步的疑问，可以直接向我咨询，我会为您提供详细的法律解答和建议。