结论：员工患精神病时，单位在医疗期内一般不得解除劳动合同，更不能直接不续签劳动合同；医疗期满后，若员工不能从事原工作也不能从事另行安排的工作，单位可以依法解除劳动合同并支付经济补偿金，但这也并非直接不续签，而是需经过法定程序。特殊情况下，如员工严重违反规章制度或对工作存在严重安全隐患，单位可依据相关法律规定处理，但这种情况也极为特殊且需严格符合法定条件。
详细分析：
医疗期内
保护原则：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，员工因患精神病在规定的医疗期内，单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）或第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同，自然也就不能直接不续签劳动合同。这是为了保障患病员工的基本权益，给予其充分的治疗和恢复时间。
- 医疗期的具体时长根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，例如实际工作年限十年以下，本单位工作年限五年以下为三个月，五年以上为六个月等。
待遇保障：
- 在医疗期内，用人单位应支付病假工资等相应待遇，确保员工的合法权益不受侵犯。
特殊情况例外：
- 若员工在医疗期内严重违反单位规章制度，如严重旷工、造成重大损失等，且符合《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，单位可以解除劳动合同，不受医疗期限制。但这种情况极为特殊，且需要单位有充分的证据证明员工的行为确实严重违反了规章制度。
医疗期满后
工作能力评估：
- 医疗期满后，若员工能够从事原工作，单位应继续履行劳动合同，安排其回原岗位工作。
- 若员工不能从事原工作，但经单位另行安排后能胜任新工作，单位亦应继续履行劳动关系并支付相应劳动报酬。
解除条件与补偿：
- 若员工既不能从事原工作，也不能从事单位另行安排的工作，单位在提前三十日以书面形式通知员工本人或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同。但这并非直接不续签，而是需经过法定程序，并支付经济补偿金。
- 解除劳动合同时，单位需按照国家规定给予员工经济补偿，具体标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。计算公式为：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
特殊情况的协商处理：
- 若员工精神病病情严重至无法自理，其监护人可与单位协商解除劳动合同，以体现人文关怀和双方互谅互让的精神。但这种情况也需要双方协商一致，并签订书面协议。
总结与建议：
在处理与患精神病员工的劳动合同问题时，单位应严格遵守法律法规，充分考虑员工的实际情况和合法权益。在医疗期内给予必要的保护和照顾，医疗期满后则根据员工的工作能力和单位需求进行合理安排。如需解除劳动合同或不再续签，应确保程序合法、补偿到位，避免引发不必要的法律纠纷和社会争议。同时，建议单位在遇到此类情况时及时寻求专业法律意见，以确保处理的准确性和合法性。如果你或你所在的单位有相关法律问题，可以直接向我咨询。