在私人厂没合同上班手指受伤，一般情况下更倾向于认定为劳动关系，但具体还需结合实际情况判断，也存在认定为劳务关系的可能性。以下从不同角度为你详细分析：

认定为劳动关系的角度

1. 法律特征符合：劳动关系是指劳动者与用人单位之间，依法所确立的劳动过程中的权利义务关系。即使没有签订书面劳动合同，只要双方实际履行了劳动权利和义务，形成了事实上的劳动关系，就受劳动法律法规的保护。在私人厂工作，如果劳动者接受厂里的管理，遵守厂里的规章制度，按照厂里的安排进行工作，并且由厂里支付劳动报酬，那么就符合劳动关系的特征。例如，你每天按照厂里规定的时间上下班，服从厂里的工作安排，完成厂里分配的生产任务，厂里按月给你发放工资，这种情况下即使没有合同，也大概率是劳动关系。
2. 工伤认定与赔偿：如果认定为劳动关系，那么劳动者在工作中受伤就属于工伤。根据《工伤保险条例》的规定，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病进行治疗，享受工伤医疗待遇。用人单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。认定为工伤后，劳动者可以享受相应的工伤赔偿，包括医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。

认定为劳务关系的角度

1. 特殊情形判断：劳务关系是指两个或两个以上的平等主体之间，依据民事法律规范，一方向另一方提供劳务，另一方依约支付劳务报酬的一种权利义务关系。如果劳动者与私人厂之间是一种临时性、一次性的工作关系，劳动者不受厂里的管理和约束，工作时间和工作内容比较灵活，双方地位相对平等，那么可能被认定为劳务关系。例如，你只是偶尔去私人厂帮忙做一些零活，不受厂里的考勤管理，工作完成后就离开，这种情况下可能属于劳务关系。
2. 责任承担方式：如果认定为劳务关系，那么劳动者在工作中受伤就不属于工伤，不能享受工伤保险待遇。而是按照一般的侵权责任来处理，根据双方各自的过错承担相应的责任。如果私人厂存在过错，比如没有提供安全的工作环境、没有进行必要的安全培训等，那么私人厂需要承担相应的赔偿责任；如果劳动者自身也存在过错，比如没有按照操作规程进行工作等，那么劳动者也需要承担一定的责任。

建议

1. 收集证据：无论最终认定为劳动关系还是劳务关系，收集相关证据都是非常重要的。你可以收集工作证、工资条、考勤记录、工作照片、证人证言等证据，以证明你与私人厂之间存在事实上的工作关系以及受伤的情况。
2. 申请认定：如果可能，尽量先向当地的社会保险行政部门申请工伤认定。如果社会保险行政部门认定为工伤，那么就可以按照工伤的程序进行处理；如果社会保险行政部门不予认定，你可以在收到不予认定决定书后依法提起行政复议或者行政诉讼。
3. 咨询律师：由于劳动关系的认定和工伤赔偿等问题比较复杂，建议你及时向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供专业的法律建议和帮助。