结论：您可以要求公司支付未签劳动合同期间的双倍工资差额（最多11个月），以及违法解除劳动合同的赔偿金（2个月工资）。以下是详细分析：
一、未签劳动合同的法律后果
根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
具体计算：
- 您入职一年未签合同，公司需支付11个月双倍工资差额（第2个月至第12个月，首月不计）。
- 补签合同后，若合同日期倒签至入职日，公司仍需支付差额（司法实践中，倒签合同不能免除此前未签的责任）；若未倒签，则从补签前一个月起算双倍工资（但您的情况已满一年，直接适用11个月规则）。
二、违法解除劳动合同的赔偿
公司补签合同三个月后解除劳动关系，需分情况讨论：
- 若公司无合法理由解除（如无严重违纪、不能胜任工作等证据）：
- 属于违法解除，根据《劳动合同法》第八十七条，需支付赔偿金=2×月工资（月工资指解除前12个月平均工资）。
- 若公司以合法理由解除（如您存在过错）：
- 需支付经济补偿金=1×月工资（工作年限满1年不满1年半，按1.5个月计算，但此处因公司未签合同在先，可能仍需结合双倍工资差额主张权益）。
关键点：公司需举证解除合法性，若无法证明，则推定为违法解除。
三、操作建议
- 收集证据：
- 工资流水、工牌、考勤记录、工作邮件等证明劳动关系存在；
- 补签的劳动合同（若日期倒签，可主张公司恶意规避责任）；
- 解除通知（书面或录音、聊天记录等）。
- 主张权利：
- 向公司书面提出赔偿要求（保留送达证据）；
- 若协商无果，向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动仲裁委申请仲裁，主张：
- 未签合同的双倍工资差额；
- 违法解除赔偿金；
- 未休年假工资、加班费等（如有）。
- 时效注意：劳动仲裁时效为1年，自您知道权益受损之日起算（如解除合同之日）。
四、风险提示
- 若公司主张“补签合同视为放弃双倍工资”，司法实践中一般不予支持，但需结合具体证据（如您是否明确放弃）；
- 若公司已支付部分双倍工资（如通过奖金形式），需在仲裁中扣除已支付部分。
总结：您有权要求公司支付11个月双倍工资差额及违法解除赔偿金（2个月工资），建议尽快收集证据并申请仲裁。如有细节需要进一步分析，可直接向我咨询。