结论：打架被拘留后，公司是否可以开除员工，需结合具体情况判断，不能一概而论。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与原则
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：
- 在试用期间被证明不符合录用条件的；
- 严重违反用人单位的规章制度的；
- 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
- 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
- 因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；
- 被依法追究刑事责任的。
打架被拘留可能涉及行政责任或刑事责任。若构成犯罪并被追究刑事责任，根据上述法律条款，用人单位可以解除劳动合同。
二、打架被拘留的具体情形分析
行政拘留：
- 若打架行为未构成犯罪，仅受到行政拘留处罚，通常属于违反治安管理行为。
- 此时，用人单位不能仅凭行政拘留就解除劳动合同，还需考虑公司规章制度及打架行为的严重程度。
- 如果公司的规章制度明确规定打架属于严重违纪行为，且该制度经过民主程序制定并公示，那么用人单位有权依据规章制度解除劳动合同。
刑事拘留：
- 若打架行为涉嫌犯罪，被刑事拘留，最终可能被判处刑罚。
- 根据《劳动合同法》第三十九条第六项，一旦劳动者被依法追究刑事责任，用人单位可以解除劳动合同。
三、单位开除员工的合法性与合理性
合法性：
- 用人单位在解除劳动合同时，必须遵循法定程序和条件，确保不侵犯劳动者的合法权益。
- 若用人单位依据规章制度解除劳动合同，需确保该规章制度合法有效，且已向劳动者公示或告知。
合理性：
- 除了法律依据外，用人单位还应考虑打架行为的性质、情节、后果以及劳动者的平时表现等因素，综合判断是否应当解除劳动合同。
- 例如，若打架行为情节轻微，未造成严重后果，且劳动者平时表现良好，用人单位可考虑给予警告、罚款等处罚，而非直接解除劳动合同。
四、实际操作建议
劳动者：
- 若因打架被拘留，应尽快了解拘留性质（行政拘留或刑事拘留），并评估可能对工作产生的影响。
- 若面临被开除的风险，可积极与用人单位沟通，说明情况，争取谅解或减轻处罚。
用人单位：
- 在解除劳动合同前，应充分了解打架行为的性质、情节及后果，确保解除劳动合同的合法性与合理性。
- 若依据规章制度解除劳动合同，需确保该规章制度合法有效，并已向劳动者公示或告知。
- 在解除劳动合同过程中，应遵循法定程序，如提前通知工会、听取劳动者意见等。
总结：打架被拘留后，公司是否可以开除员工，需结合拘留性质、公司规章制度及打架行为的严重程度等因素综合判断。若您或您身边的人遇到此类问题，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议。