核心结论：若您在工作时右手中指肌腱断裂，可先申请工伤认定，再根据伤残等级要求用人单位支付工伤赔偿；若用人单位未缴纳工伤保险，所有赔偿由用人单位承担；若存在第三人侵权，还可同时主张侵权赔偿。以下是具体分析：

1. 申请工伤认定

   • 法律依据：根据《工伤保险条例》第十四条规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。您在工作时右手中指肌腱断裂，符合该情形，有权申请工伤认定。
   • 申请流程：您或您的用人单位应在事故伤害发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若用人单位未按规定提出申请，您或您的近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 所需材料：一般包括工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等。

2. 进行劳动能力鉴定

   • 鉴定目的：劳动能力鉴定是指劳动功能障碍程度和生活自理障碍程度的等级鉴定，其结果将直接影响您能获得的工伤赔偿金额。
   • 申请流程：经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，您应当向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。
   • 鉴定等级：劳动功能障碍分为十个伤残等级，最重的为一级，最轻的为十级。右手中指肌腱断裂可能被鉴定为不同的伤残等级，具体需根据鉴定结果确定。

3. 要求工伤赔偿

   • 赔偿项目：根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤赔偿项目包括医疗费、住院伙食补助费、交通费、食宿费、康复治疗费、辅助器具费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等。
   • 赔偿主体：若用人单位为您缴纳了工伤保险，大部分赔偿项目由工伤保险基金支付，如医疗费、一次性伤残补助金等；部分项目由用人单位支付，如停工留薪期工资、一次性伤残就业补助金等。若用人单位未为您缴纳工伤保险，所有赔偿项目均由用人单位承担。
   • 赔偿标准：各项赔偿标准根据您的伤残等级、工资水平、当地职工平均工资等因素确定。例如，一次性伤残补助金的标准为：一级伤残为27个月的本人工资，二级伤残为25个月的本人工资，以此类推，十级伤残为7个月的本人工资。

4. 特殊情况处理

   • 第三人侵权：如果您的右手中指肌腱断裂是由于第三人的侵权行为导致的，如被他人故意伤害或因他人的过错导致事故发生，您在获得工伤赔偿的同时，还可以向第三人主张侵权赔偿。这就是所谓的“工伤与侵权竞合”，您可以根据实际情况选择更有利的赔偿方式，或者同时主张两种赔偿，但医疗费等实际发生的费用一般不能重复获得赔偿。
   • 用人单位拒绝赔偿：如果用人单位拒绝支付工伤赔偿，您可以先与用人单位协商解决；协商不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁裁决不服的，可以向人民法院提起诉讼。

建议：在处理工伤赔偿事宜过程中，您要注意保留好相关的证据材料，如工伤认定决定书、劳动能力鉴定结论书、医疗费用发票等。同时，建议您及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。如果您还有其他疑问，欢迎随时向我咨询。